等号成立条件高考易错题

7. $( x + { \frac { 1 } { x } } ) ( x + { \frac { 4 } { x } } )$ 的最小值为()

10． 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q \neq 1, a_{1}>0,2 a_{3}=a_{2}+a_{1}$ ，记前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则

6. 已知 $a > 0 , b > 0$ ,则 （）

8. 设 $a , b > 0 , a + \frac { 1 } { b } = 1$ ,则 $b + { \frac { 1 } { a } }$ 的最小值为

8．设 $a, b>0, a+\frac{1}{b}=1$ ，则 $b+\frac{1}{a}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

15. 若 $a , b \in R$ ,对 $\forall x \in [ - 2 , 2 ]$ ,均有 $( 2 a + b ) x ^ { 2 } + b x - a - 1 \leqslant 0$ 恒成立，则 $2 a + b$ 的最小值为

9. $S _ { n }$ 为等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前n项和，q为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 公比， $q > 0$ $S _ { 3 } = 7$ $a _ { 3 } = 1$ ，则（）

9．已知 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是函数 $y=2^{x}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是（）

23. 实数 $a, b$ 满足 $a + b \geq 3$ .

（1）证明： $2a^{2}+2b^{2}>a+b$ ;

(2) 证明: $\left|a-2b^{2}\right|+\left|b-2a^{2}\right|\geq6$ .

11．在 $\triangle A B C$ 中内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B=\frac{\pi}{3}, b^{2}=\frac{9}{4} a c$ ，则 $\sin A+\sin C=()$

17．已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $a \leq 2$ 时，证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<\mathrm{e}^{x-1}$ 恒成立．

20．实数 $a, b$ 满足 $a+b \geq 3$ ．
（1）证明： $2 a^{2}+2 b^{2}>a+b$ ；
（2）证明：$\left|a-2 b^{2}\right|+\left|b-2 a^{2}\right| \geq 6$ ．

4．向量 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,|\vec{c}|=\sqrt{2}$ ，且 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ ，则 $\cos \langle\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}-\vec{c}\rangle=$（）

6．已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增，直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$

10．已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增，直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$

10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L_{p}=20 \times \lg \frac{p}{p_{0}}$ ，其中常数 $p_{0}\left(p_{0}>0\right)$ 是听觉下限间值，$p$ 是实际声压．下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，则（ ）。

12. 已知 $9 ^ { m } = 1 0 , a = 1 0 ^ { m } - 1 1 , b = 8 ^ { m } - 9$ ，则（ ）

23．已知 $a, b, c$ 均为正数，且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$ ，证明：
①$a+b+2 c \leq 3$ ；
（2）若 $b=2 c$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$ ．

12．已知 $9^{m}=10, a=10^{m}-11, b=8^{m}-9$ ，则（ ）

16．已知 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，$\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D=$ $\_\_\_\_$ ．

21．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

23．已知 $a, b, c$ 均为正数，且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$ ，证明：
①$a+b+2 c \leq 3$ ；
（2）若 $b=2 c$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$ ．

9. 已知球 $O$ 的半径为 1, 四棱锥的顶点为 $O$ , 底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上, 则当该四棱锥的体积最大时, 其高为 ( )

9．已知球 $O$ 的半径为 1，四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）

12．已知球 $O$ 的半径为 1 ，四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）

23．已知 $a, b, \mathrm{c}$ 都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$ ，证明：
①$a b c \leq \frac{1}{9}$ ；
②$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$ ；

18．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$ ．

（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，求证：$\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right) b_{n}=S_{n+1} b_{n+1}-S_{n} b_{n}$ ；
（3）求 $\sum_{k=1}^{2 n}\left[a_{k+1}-(-1)^{k} a_{k}\right] b_{k}$ ．

20．已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=e^{x}-a \sin x, g(x)=b \sqrt{x}$
（1）求函数 $y=f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（2）若 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 有公共点，
（i）当 $a=0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证：$a^{2}+b^{2}>\mathrm{e}$ ．

15．若曲线 $y=(x+a) \mathrm{e}^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$ ．

18．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2 B}{1+\cos 2 B}$ ．
（1）若 $C=\frac{2 \pi}{3}$ ，求 $B$ ；
（2）求 $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值．

21．如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ ．设 $A, B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 $A B$ 上，直线 $P A, P B$ 分别交直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 于 $C, D$ 两点．

（1）求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求 $|C D|$ 的最小值．

9．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}=4$ ，直线 $l: y=k x+m$ ，当 $k$ 变化时，$l$ 截得圆 $C$ 弦长的最小值为 2 ，则 $m=($

23．已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集；
（2）若 $f(x)>-a$ ，求 $a$ 的取值范围．

8．下列函数中最小值为4的是（ ）

11．设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点，点 $P$ 在 $C$ 上，则 $|P B|$ 的最大值为

20．已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 ．
（1）求 $C$ 的方程，
（2）已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{P Q}=9 \overrightarrow{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值

8．已知函数 $f(x)=3^{x}+\frac{a}{3^{x}+1}(a>0)$ 的最小值为 5 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 9。

【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足＂一正、二定、三相等＂，该题只需将函数解析式变形成 $f(x)=3^{x}+1+\frac{a}{3^{x}+1}-1$ ，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件。

13．若 $a>0, b>0$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b$ 的最小值为

17.

已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},(\vec{c} \neq \overrightarrow{0})$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b}=0,(\vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{c}=0$ 。记向量 $\vec{d}$ 在 $\vec{a}, \vec{b}$ 方向上的投影分别为 $x, y, \vec{d}-\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影为 $z$ ，则 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

12．已知 $5 x^{2} y^{2}+y^{4}=1(x, y \in R)$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．