## （5）已知命题 p_ 1：函数 y=2^ x -2^…——2010 高考数学第 5 题答案解析

【答案】C

【解答】
（5分）（2010•海南）已知命题 $\mathrm{p}_{1}$ ：函数 $\mathrm{y}=2^{\mathrm{x}}-2^{-\mathrm{x}}$ 在 R 为增函数， $\mathrm{p}_{2}$ ：函数 $\mathrm{y}=2^{\mathrm{x}}+2^{-\mathrm{x}}$ 在 R 为减函数，则在命题 $\mathrm{q}_{1}: ~ \mathrm{p}_{1} \vee \mathrm{p}_{2}, ~ \mathrm{q}_{2}: ~ \mathrm{p}_{1} \wedge \mathrm{p}_{2}, ~ \mathrm{q}_{3}: ~\left(\neg \mathrm{p}_{1}\right) \vee \mathrm{p}_{2}$ 和 $\mathrm{q}_{4}: ~ \mathrm{p}_{1} \wedge\left(\neg \mathrm{p}_{2}\right)$ 中，真命题是（ ）
A． $\mathrm{q}_{1}, \mathrm{q}_{3}$
B．$q_{2}, q_{3}$
C． $\mathrm{q}_{1}, \mathrm{q}_{4}$
D． $\mathrm{q}_{2}, \mathrm{q}_{4}$

【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系。
【专题】简易逻辑。
【分析】先判断命题 $\mathrm{p}_{1}$ 是真命题， $\mathrm{P}_{2}$ 是假命题，故 $\mathrm{p}_{1} \vee \mathrm{p}_{2}$ 为真命题，$\left(-\mathrm{p}_{2}\right)$ 为真命题， $\mathrm{p}_{1} \wedge$ （ $-\mathrm{p}_{2}$ ）为真命题。
【解答】解：易知 $p_{1}$ 是真命题，而对 $p_{2}: y^{\prime}=2^{x} \ln 2-\frac{1}{2^{x}} \ln 2=\ln 2\left(2^{x}-\frac{1}{2^{x}}\right)$ ，当 $x \in[0,+\infty)$ 时， $2^{x} \geqslant \frac{1}{2^{x}}$ ，又 $\ln 2>0$ ，所以 $y^{\prime} \geq 0$ ，函数单调递增；
同理得当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，函数单调递减，故 $p_{2}$ 是假命题．
由此可知， $\mathrm{q}_{1}$ 真， $\mathrm{q}_{2}$ 假， $\mathrm{q}_{3}$ 假， $\mathrm{q}_{4}$ 真。
故选C。
【点评】只有 $\mathrm{p}_{1}$ 与 $\mathrm{P}_{2}$ 都是真命题时， $\mathrm{p}_{1} \wedge \mathrm{p}_{2}$ 才是真命题。只要 $\mathrm{p}_{1}$ 与 $\mathrm{p}_{2}$ 中至少有一个真命题， p ${ }_{1} \mathrm{Vp}_{2}$ 就是真命题。