如图，在正方体 A B C D - A _ 1 B _ 1…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） $\frac { 2 } { 3 }$

【解析】

【分析】

（Ⅰ）证明出四边形 $A B C _ { 1 } D _ { 1 }$ 为平行四边形，可得出 $B C _ { 1 } / / A D _ { 1 }$ ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；

（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB 、 $A A _ { 1 }$ _{所在直线分别为}x_、y_、z_{轴建立空间直角坐}标系A xyz - ，利用空间向量法可计算出直线 $A A _ { 1 }$ 与平面 $A D _ { 1 } E$ 所成角的正弦值.

【详解】（Ⅰ）如下图所示：

在正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中， $A B / / A _ { 1 } B _ { 1 }$ 且 $A B = A _ { 1 } B _ { 1 }$ $A _ { 1 } B _ { 1 } / / C _ { 1 } D _ { 1 }$ 且 $A _ { 1 } B _ { 1 } = C _ { 1 } D _ { 1 }$ $\therefore A B / / C _ { 1 } D _ { 1 }$ 且 $A B = C _ { 1 } D _ { 1 }$ ，所以，四边形 $A B C _ { 1 } D _ { 1 }$ 为平行四边形，则 $B C _ { 1 } / / A D _ { 1 }$ $\because B C _ { 1 } \notin$ 平面 $A D _ { 1 } E$ $A D _ { 1 } \subset$ 平面 $A D _ { 1 } E$ ，\ $B C _ { 1 } / /$ 平面 $A D _ { 1 } E$

（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB 、 $A A _ { 1 }$ _{所在直线分别为}x_、y_、z_{轴建立如下图所示}的空间直角坐标系 A xyz- ，

设正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的棱长为2，则 $A ( 0 , 0 , 0 )$ 、A1(0,0,2)、 $D _ { 1 } { \left( 2 , 0 , 2 \right) }$ 、

E(0,2,1), $\overrightarrow { A D _ { 1 } } = \left( 2 , 0 , 2 \right)$ $\overrightarrow { A E } = \left( 0 , 2 , 1 \right)$

设平面 $A D _ { 1 } E$ 的法向量为 $\stackrel { } { n } = ( x , y , z )$ ，由 $\left\{ \overset { \vartriangle } { \vec { n } } \cdot \overline { { \boldsymbol { A } \boldsymbol { D } _ { 1 } } } = 0 \right.$ ，得 $\begin{array} { l } { { \left\{ 2 x + 2 z = 0 \right. } } \\ { { \left\{ 2 y + z = 0 \right. } } \end{array}$

令 $z = - 2$ ，则 x = 2 ， y =1，则 $\stackrel { } { n } = ( 2 , 1 , - 2 )$

$$ \cos < \overrightarrow { n } , \overrightarrow { A A _ { 1 } } > = \frac { \overrightarrow { n } \cdot \overrightarrow { A A _ { 1 } } } { \left| \overrightarrow { n } \right| \cdot \left| \overrightarrow { A A _ { 1 } } \right| } = - \frac { 4 } { 3 \times 2 } = - \frac { 2 } { 3 } . $$

因此，直线 $A A _ { 1 }$ 与平面 $A D _ { 1 } E$ 所成角的正弦值为 $\frac { 2 } { 3 }$ .

【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.