若曲线 y= e ^ x +x 在点 (0,1) 处的切线…——2024 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $\ln 2$

【解析】

【分析】先求出曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 在 $(0,1)$ 的切线方程，再设曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切点为 $\left(x_{0}, \ln \left(x_{0}+1\right)+a\right)$ ，求出 $y^{\prime}$ ，利用公切线斜率相等求出 $x_{0}$ ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解．

【详解】由 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 得 $y^{\prime}=\mathrm{e}^{x}+1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\mathrm{e}^{0}+1=2$ ，
故曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 在 $(0,1)$ 处的切线方程为 $y=2 x+1$ ；
由 $y=\ln (x+1)+a$ 得 $y^{\prime}=\frac{1}{x+1}$ ，
设切线与曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 相切的切点为 $\left(x_{0}, \ln \left(x_{0}+1\right)+a\right)$ ，
由两曲线有公切线得 $y^{\prime}=\frac{1}{x_{0}+1}=2$ ，解得 $x_{0}=-\frac{1}{2}$ ，则切点为 $\left(-\frac{1}{2}, a+\ln \frac{1}{2}\right)$ ，
切线方程为 $y=2\left(x+\frac{1}{2}\right)+a+\ln \frac{1}{2}=2 x+1+a-\ln 2$ ，
根据两切线重合，所以 $a-\ln 2=0$ ，解得 $a=\ln 2$ ．
故答案为： $\ln 2$