（本小题共13分） 设数列 a_ n 的通项公式为 a_…——2009 高考数学第 20 题答案解析

（I）当 $p=\frac{1}{2}, q=-\frac{1}{3}$ 时，$a_n = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}$。
由定义，$b_3$ 是使得 $a_n \ge 3$ 成立的最小正整数 $n$。
解不等式 $\frac{1}{2}n - \frac{1}{3} \ge 3$，得 $\frac{1}{2}n \ge \frac{10}{3}$，即 $n \ge \frac{20}{3}$。
因为 $\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$，所以满足条件的最小正整数 $n$ 为 7。
故 $b_3 = 7$。

（II）当 $p=2, q=-1$ 时，$a_n = 2n - 1$。
由 $a_n \ge m$，得 $2n - 1 \ge m$，即 $n \ge \frac{m+1}{2}$。
根据 $b_m$ 的定义，$b_m$ 是大于等于 $\frac{m+1}{2}$ 的最小整数，即 $b_m = \left\lceil \frac{m+1}{2} \right\rceil$。
我们将前 $2m$ 项分为奇数项和偶数项两组求和：
1. 当 $m$ 取奇数 $2k-1$ ($k=1, 2, \dots, m$) 时：
$b_{2k-1} = \left\lceil \frac{(2k-1)+1}{2} \right\rceil = \left\lceil k \right\rceil = k$。
这部分的和为 $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$。
2. 当 $m$ 取偶数 $2k$ ($k=1, 2, \dots, m$) 时：
$b_{2k} = \left\lceil \frac{2k+1}{2} \right\rceil = \left\lceil k + \frac{1}{2} \right\rceil = k+1$。
这部分的和为 $\sum_{k=1}^{m} (k+1) = \frac{m(m+1)}{2} + m = \frac{m(m+3)}{2}$。

数列 $\{b_m\}$ 的前 $2m$ 项和为：
$$ S_{2m} = \frac{m(m+1)}{2} + \frac{m(m+3)}{2} = \frac{m^2+m+m^2+3m}{2} = \frac{2m^2+4m}{2} = m^2+2m $$

（III）假设存在 $p, q$ 使得 $b_m = 3m+2$ 对任意 $m \in N^*$ 成立。
由 $a_n \ge m$ 得 $pn+q \ge m$。因 $p>0$，故 $n \ge \frac{m-q}{p}$。
$b_m$ 是满足该不等式的最小整数 $n$，这意味着 $b_m - 1 < \frac{m-q}{p} \le b_m$。
代入 $b_m = 3m+2$，得：
$$ 3m+1 < \frac{m-q}{p} \le 3m+2 $$
由于 $p>0$，同乘 $p$ 得：
$$ p(3m+1) < m-q \le p(3m+2) $$
整理关于 $m$ 的不等式：
$$ 3pm + p < m - q \le 3pm + 2p $$
$$ 3pm - m + p + q < 0 \quad \text{且} \quad m - q - 3pm - 2p \le 0 $$
即：
$$ (3p-1)m + p + q < 0 \quad \cdots ① $$
$$ (1-3p)m - q - 2p \le 0 \quad \cdots ② $$
上述不等式需对任意 $m \in N^*$ 恒成立。

考察系数 $3p-1$：
1. 若 $3p-1 > 0$，即 $p > \frac{1}{3}$：
由 ① 得 $(3p-1)m < -(p+q)$，即 $m < -\frac{p+q}{3p-1}$。
由于左边随 $m$ 增大而趋向无穷大，右边为常数，故不可能对任意 $m$ 成立。
2. 若 $3p-1 < 0$，即 $0 < p < \frac{1}{3}$：
由 ② 得 $(1-3p)m \le q+2p$，即 $m \le \frac{q+2p}{1-3p}$。
同样，左边随 $m$ 增大而趋向无穷大，右边为常数，故不可能对任意 $m$ 成立。
3. 若 $3p-1 = 0$，即 $p = \frac{1}{3}$：
代入 ①：$0 \cdot m + \frac{1}{3} + q < 0 \Rightarrow q < -\frac{1}{3}$。
代入 ②：$0 \cdot m - q - \frac{2}{3} \le 0 \Rightarrow -q \le \frac{2}{3} \Rightarrow q \ge -\frac{2}{3}$。
综上，$-\frac{2}{3} \le q < -\frac{1}{3}$。

检验：当 $p=\frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \le q < -\frac{1}{3}$ 时，
$\frac{m-q}{p} = 3(m-q) = 3m - 3q$。
因为 $-\frac{2}{3} \le q < -\frac{1}{3}$，所以 $\frac{1}{3} < -q \le \frac{2}{3}$，即 $1 < -3q \le 2$。
令 $-3q = 1 + \delta$，其中 $0 < \delta \le 1$（注意边界情况，若 $q=-2/3$, $-3q=2$; 若 $q \to -1/3$, $-3q \to 1$）。
更准确地：
$q \in [-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) \implies -3q \in (1, 2]$。
所以 $\frac{m-q}{p} = 3m + (-3q)$。
设 $K = -3q$，则 $1 < K \le 2$。
我们需要找最小整数 $n$ 使得 $n \ge 3m + K$。
因为 $3m$ 是整数，且 $1 < K \le 2$，所以 $3m+1 < 3m+K \le 3m+2$。
大于等于 $3m+K$ 的最小整数确实是 $3m+2$（当 $K=2$ 时取等号，最小整数为 $3m+2$；当 $1<K<2$ 时，最小整数也为 $3m+2$？不对。
让我们重新检查定义：$n \ge X$ 的最小整数是 $\lceil X \rceil$。
这里 $X = 3m + K$，其中 $K \in (1, 2]$。
如果 $K=2$， $X=3m+2$，$\lceil X \rceil = 3m+2$。
如果 $1 < K < 2$，例如 $K=1.5$， $X=3m+1.5$，$\lceil X \rceil = 3m+2$。
如果 $K$ 无限接近 1，例如 $K=1.0001$， $X=3m+1.0001$，$\lceil X \rceil = 3m+2$。
等等，题目中不等式是 $a_n \ge m \iff n \ge \frac{m-q}{p}$。
$b_m = \min \{ n \in N^* \mid n \ge \frac{m-q}{p} \} = \lceil \frac{m-q}{p} \rceil$。
我们要 $b_m = 3m+2$。
即 $\lceil 3m - 3q \rceil = 3m+2$。
这等价于 $3m+1 < 3m - 3q \le 3m+2$。
消去 $3m$，得 $1 < -3q \le 2$。
即 $-2 \le 3q < -1$，解得 $-\frac{2}{3} \le q < -\frac{1}{3}$。
这与前面的推导一致。

故存在这样的 $p, q$，取值范围为 $p=\frac{1}{3}$，$-\frac{2}{3} \le q < -\frac{1}{3}$。