2009_北京卷 (2009·文)
20．（本小题共13分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=p n+q\left(n \in N^{*}, P>0\right)$ 。数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 定义如下：对于正整数 m ，$b_{m}$ 是使得不等式 $a_{n} \geq m$ 成立的所有 n 中的最小值．
（I）若 $p=\frac{1}{2}, q=-\frac{1}{3}$ ，求 $b_{3}$ ；
（II）若 $p=2, q=-1$ ，求数列 $\left\{b_{m}\right\}$ 的前 2 m 项和公式；
（III）是否存在 p 和 q ，使得 $b_{m}=3 m+2\left(m \in N^{*}\right)$ ？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如果不存在，请说明理由。
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法。本题是数列与不等式综合的较难层次题。
（ I ）由题意，得 $a_{n}=\frac{1}{2} n-\frac{1}{3}$ ，
解 $\frac{1}{2} n-\frac{1}{3} \geq 3$ ，得 $n \geq \frac{20}{3}$ ．
$\therefore \frac{1}{2} n-\frac{1}{3} \geq 3$ 成立的所有 n 中的最小正整数为 7 ，即 $b_{3}=7$ ．
（II）由题意，得 $a_{n}=2 n-1$ ，
对于正整数 $\mathrm{m}, ~$ 由 $a_{n} \geq m$ ，得 $n \geq \frac{m+1}{2}$ ．
根据 $b_{m}$ 的定义可知
当 $m=2 k-1_{\text {时 }, ~} b_{m}=k\left(k \in N^{*}\right)$ ；
当 $m=2 k$ 时，$b_{m}=k+1\left(k \in N^{*}\right)$ ．
$\therefore b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{2 m}=\left(b_{1}+b_{3}+\cdots+b_{2 m-1}\right)+\left(b_{2}+b_{4}+\cdots+b_{2 m}\right)$
$$ \begin{aligned} & =(1+2+3+\cdots+m)+[2+3+4+\cdots \\ & =\frac{m(m+1)}{2}+\frac{m(m+3)}{2}=m^{2}+2 m \end{aligned} $$
（III）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式 $p n+q \geq m$ 及 $p>0$ 得 $n \geq \frac{m-q}{p}$ ．
$\because b_{m}=3 m+2\left(m \in N^{*}\right)$ ，根据 $b_{m}$ 的定义可知，对于任意的正整数 m 都有
$3 m+1<\frac{m-q}{p} \leq 3 m+2$,
即 $-2 p-q \leq(3 p-1) m<-p-q$ 对任意的正整数 m 都成立。
当 $3 p-1>0$（或 $3 p-1<0$ ）时，得 $m<-\frac{p+q}{3 p-1} \quad$（或 $m \leq-\frac{2 p+q}{3 p-1}$ ），这与上述结论矛盾！
当 $3 p-1=0$ ，即 $p=\frac{1}{3}$ 时，得 $-\frac{2}{3}-q \leq 0<-\frac{1}{3}-q$ ，
解得 $-\frac{2}{3} \leq q<-\frac{1}{3}$ 。（经检验符合题意）
∴ 存在 p 和 q ，使得 $b_{m}=3 m+2\left(m \in N^{*}\right) ; ~ \mathrm{p}$ 和 q 的取值范围分别是 $p=\frac{1}{3}, ~-\frac{2}{3} \leq q<-\frac{1}{3}$ ．