已知 b 是 a, c 的等差中项，直线 a x+b y+…——2024 高考数学第 12 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】结合等差数列性质将 $c$ 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解．
【详解】因为 $a, b, c$ 成等差数列，所以 $2 b=a+c, c=2 b-a$ ，代入直线方程 $a x+b y+c=0$ 得
$a x+b y+2 b-a=0$ ，即 $a(x-1)+b(y+2)=0$ ，令 $\left\{\begin{array}{l}x-1=0 \\ y+2=0\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2\end{array}\right.$ ，
故直线恒过 $(1,-2)$ ，设 $P(1,-2)$ ，圆化为标准方程得：$C: x^{2}+(y+2)^{2}=5$ ，
设圆心为 $C$ ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 $P C \perp A B$ 时，$|A B|$ 最小，
$|P C|=1,|A C|=|r|=\sqrt{5}$ ，此时 $|A B|=2|A P|=2 \sqrt{A C^{2}-P C^{2}}=2 \sqrt{5-1}=4$ ．

故选：C