过原点的一条直线与圆 C:(x+2)^ 2 +y^ 2 =…——2023 高考数学第 12 题答案解析

【答案】6
【解析】
【分析】根据圆 $(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 和曲线 $y^{2}=2 p x$ 关于 $x$ 轴对称，不妨设切线方程为 $y=k x, k>0$ ，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．

【详解】易知圆 $(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 和曲线 $y^{2}=2 p x$ 关于 $x$ 轴对称，不妨设切线方程为 $y=k x, k>0$ ，

所以 $\frac{|2 k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\sqrt{3}$ ，解得：$k=\sqrt{3}$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3} x \\ y^{2}=2 p x\end{array}\right.$ 解得：$\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2 p}{3} \\ y=\frac{2 \sqrt{3} p}{3}\end{array}\right.$ ，
所以 $|O P|=\sqrt{\left(\frac{2 p}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2 \sqrt{3} p}{3}\right)^{2}}=\frac{4 p}{3}=8$ ，解得：$p=6$ ．
当 $k=-\sqrt{3}$ 时，同理可得．
故答案为： 6 ．