已知实数 x, y 满足 x^ 2 +y^ 2 -4 x-…——2023 高考数学第 11 题答案解析

【答案】C

## 【解析】

【分析】法一：令 $x-y=k$ ，利用判别式法即可；法二：通过整理得 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9$ ，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设 $x-y=k$ ，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可．

【详解】法一：令 $x-y=k$ ，则 $x=k+y$ ，

代入原式化简得 $2 y^{2}+(2 k-6) y+k^{2}-4 k-4=0$ ，
因为存在实数 $y$ ，则 $\Delta \geq 0$ ，即 $(2 k-6)^{2}-4 \times 2\left(k^{2}-4 k-4\right) \geq 0$ ，
化简得 $k^{2}-2 k-17 \leq 0$ ，解得 $1-3 \sqrt{2} \leq k \leq 1+3 \sqrt{2}$ ，
故 $x-y$ 的最大值是 $3 \sqrt{2}+1$ ，
法二：$x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-4=0$ ，整理得 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9$ ，
令 $x=3 \cos \theta+2, y=3 \sin \theta+1$ ，其中 $\theta \in[0,2 \pi]$ ，
则 $x-y=3 \cos \theta-3 \sin \theta+1=3 \sqrt{2} \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+1$ ，
$\because \theta \in[0,2 \pi]$ ，所以 $\theta+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]$ ，则 $\theta+\frac{\pi}{4}=2 \pi$ ，即 $\theta=\frac{7 \pi}{4}$ 时，$x-y$ 取得最大值 $3 \sqrt{2}+1$ ，
法三：由 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-4=0$ 可得 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9$ ，
设 $x-y=k$ ，则圆心到直线 $x-y=k$ 的距离 $d=\frac{|2-1-k|}{\sqrt{2}} \leq 3$ ，
解得 $1-3 \sqrt{2} \leq k \leq 1+3 \sqrt{2}$
故选：C．