（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P-A B C…——2012 高考数学第 19 题答案解析

答案：（I） $\arctan \frac{\sqrt{39}}{13}$（II） $\arctan 2$
解析：解法－：
（I）连接 $O C$ ，由已知 $\angle O C P$ 为直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的

角，设 $A B$ 的中点为 $D$ ，连接 $P D, C D$ ，

因为 $A B=B C=C A$ ，所以 $C D \perp A B$ ，

因为 $\angle A P B=90^{\circ}, \angle P A B=60^{\circ}$ ，所以 $\triangle P A D$ 为等边三角形，

不妨设 $P A=2$ ，则 $O D=1, O P=\sqrt{3}, A B=4$ ，
所以 $C D=2 \sqrt{3}, O C=\sqrt{O D^{2}+C D^{2}}=\sqrt{1+12}=\sqrt{13}$ ，
在 Rt $\triangle O C P$ 中， $\tan \angle O C P=\frac{O P}{O C}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$ ，
故直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的角的大小为 $\operatorname{arc} \tan \frac{\sqrt{39}}{13}$ ．
（II）过 $D$ 作 $D E \perp A P$ 于 $E$ ，连接 $C E$ ，由已知可得 $C D \perp$ 面 $A P B$ 。
根据三垂线定理知，$C E \perp A P$ ，所以 $\angle C E D$ 为二面角 $B-A P-C$ 的平面角，
由（I）知，$D E=\sqrt{3}$ ，在 Rt $\triangle C D E$ 中， $\tan \angle C D E=\frac{C D}{D E}=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$ ，
故二面角 $B-A P-C$ 的大小为 $\operatorname{arc} \tan 2$
12 分
解法二：
（I）设 $A B$ 的中点为 $D$ ，连接 $C D$ ，因为 $O$ 在 $A B$ ，且 $O$ 为 $P$ 在平面 $A B C$ 上的射影，
所以 $P O \perp$ 面 $A B C$ ，所以 $P O \perp A B$ ，且 $P O \perp C D$ ，由
$A B=B C=C A$ ，知 $C D \perp A B$ ，从而 $P O \perp O E, A B \perp O E$ ，
如图，以 $O$ 为坐标原点，$O B, O E, O P$ 所在直线分别为 $x, y, z$

轴建立空间直角坐标系 $O-x y z$ ，

不妨设 $A P=2$ ，由已知可得 $A B=4, O A=O D=1, O P=\sqrt{3}, C D=2 \sqrt{3}, \quad \mathrm{D}$
所以 $O(0,0,0), A(-1,0,0), C(1,2 \sqrt{3}, 0), P(0,0, \sqrt{3})$ ，
所以 $\overrightarrow{C P}=(-1,-2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ ，而 $\overrightarrow{O P}=(0,0, \sqrt{3})$ 为平面 $A B C$ 的一个法向量，
设 $\alpha$ 为直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的角，则 $\sin \alpha=\left|\frac{\overline{C P} \cdot \overline{O P}}{|\overline{C P}||\overline{O P}|}\right|=\left|\frac{0+0+3}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，

（II）由（I）有 $\overrightarrow{A P}=(1,0, \sqrt{3}), \overrightarrow{A C}=(2,2 \sqrt{3}, 0)$ ，

设平面 $A P C$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \perp \overrightarrow{A P} \\ \vec{n} \perp \overrightarrow{A C}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A P}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A C}=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(x, y, z) \cdot(1,0, \sqrt{3})=0 \\ (x, y, z) \cdot(2,2 \sqrt{3}, 0)=0\end{array}\right.\right.\right.$
从而 $\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3} z=0 \\ 2 x+2 \sqrt{3} y=0\end{array}\right.$ ，取 $x=-\sqrt{3}$ ，则 $y=1, z=1$ ，所以 $\vec{n}=(-\sqrt{3}, 1,1)$ ，
设二面角 $B-A P-C$ 的平面角为 $\beta$ ，易知 $\beta$ 为锐角，
而面 $A B P$ 的一个法向量为 $\bar{m}=(0,1,0)$ ，则 $\cos \beta=\left|\frac{\tilde{m} \cdot \bar{n}}{|\stackrel{\rightharpoonup}{m}||\stackrel{\rightharpoonup}{n}|}\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{3+1+1} \sqrt{0+1+0}}\right|=\frac{\sqrt{5}}{5}$

考点定位：本题考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，意在考查考生思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力。