2016_退役省自主命题 (2016·理)
19．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $1, S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，其中 $\mathrm{q}>0, n \in N^{*}$ ．
（I）若 $2 a_{2}, a_{3}, a_{2}+2$ 成等差数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}=1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2}=\frac{5}{3}$ ，证明：$e_{1}+e_{2}+\cdots+e_{n}>\frac{4^{n}-3^{n}}{3^{n-1}}$ ．
【答案】（ I ）$a_{n}=q^{n-1}$ ；（II）详见解析。
## 【解析】
试题分析：（I）已知 $S_{n}$ 的递推式 $S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，一般是写出当 $n \geq 2$ 时，$S_{n}=q S_{n-1}+1$ ，两式相减，利用 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ ，得出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的递推式，从而证明 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；
（II）先利用双曲线的离心率定义得到 $e_{n}$ 的表达式，再由 $e_{2}=\frac{5}{3}$ 解出 $q$ 的值，要证明题设不等式，一般想法是求出和 $e_{1}+e_{2}+\mathrm{L}+e_{n}$ ，但数列 $\left\{e_{n}\right\}$ 的和不可求，因此我们利用放缩法得 $e_{n}>q^{n-1}$ ，从而有
$e_{1}+e_{2}+\mathrm{L}+e_{n}>1+q+\mathrm{L}+q^{n-1}$ ，右边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边．
最后利用等比数列的求和公式计算证明．
试题解析：（I）由已知，$S_{n+1}=q S_{n}+1, S_{n+2}=q S_{n+1}+1$ ，两式相减得到 $a_{n+2}=q a_{n+1}, n^{3} 1$ ．
又由 $S_{2}=q S_{1}+1$ 得到 $a_{2}=q a_{1}$ ，故 $a_{n+1}=q a_{n}$ 对所有 $n^{3} 1$ 都成立．
所以，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 $q$ 的等比数列．
从而 $a_{n}=q^{n-1}$ 。
由 $2 a_{2}, a_{3}, a_{2}+2$ 成等比数列，可得 $2 a_{3}=3 a_{2}+2$ ，即 $2 q^{2}=3 q+2$ ，则 $(2 q+1)(q-2)=0$ ，
由已知，$q>0$ ，故 $q=2$ ．
所以 $a_{n}=2^{n-1}\left(n \hat{\mathbf{I}} \mathbf{N}^{*}\right)$ ．
（II）由（I）可知，$a_{n}=q^{n-1}$ ．
所以双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}{ }^{2}}=1$ 的离心率 $e_{n}=\sqrt{1+a_{n}{ }^{2}}=\sqrt{1+q^{2(n-1)}}$ ．
由 $q=\sqrt{1+q^{2}}=\frac{5}{3}$ 解得 $q=\frac{4}{3}$ ．
因为 $1+q^{2(k-1)}>q^{2(k-1)}$ ，所以 $\sqrt{1+q^{2(k-1)}}>q^{k-1}\left(k \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ．
于是 $e_{1}+e_{2}+\cdots+e_{n}>1+q+\cdots+q^{n-1}=\frac{q^{n}-1}{q-1}$ ，
故 $e_{1}+e_{2}+\cdots+e_{3}>\frac{4^{n}-3^{n}}{3^{n-1}}$ ．
考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式．
【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力。在第（I）问中，已知的是 $S_{n}$ 的递推式，在与 $S_{n}$ 的关系式中，经常用 $n-1$ 代换 $n ~(n \geq 2) ~$ ，然后两式相减，可得 $a_{n}$ 的递推式，利用这种方法解题时要注意 $a_{1}$ ；在第（II）问中，不等式的证明用到了放缩法，这是证明不等式常用的方法，本题放缩的目的是为了求数列的和。另外放缩时要注意放缩的＂度＂．不能太大，否则得不到结果．