19．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $1, S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，其中 $\mathrm{q}>0, n \in N^{*}$ ．
（I）若 $2 a_{2}, a_{3}, a_{2}+2$ 成等差数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}=1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2}=\frac{5}{3}$ ，证明：$e_{1}+e_{2}+\cdots+e_{n}>\frac{4^{n}-3^{n}}{3^{n-1}}$ ．
参考答案（ I ）$a_{n}=q^{n-1}$ ；（II）详见解析