切线放缩高考真题解析

21．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明

理由。
（3）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

19．已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^{x}+a\right)-x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明：当 $a>0$ 时，$f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$ ．

22．已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e}^{x}$ ．
①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
②当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$ ，求 $a$ 的取值范围；
③设 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}>\ln (n+1)$ ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=a e^{x}-\ln x-1$ ．
①设 $x=2$ 是 $f$（ $x$ ）的极值点，求 $a$ ，并求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）证明：当 $a \geq \frac{1}{e}$ 时，$f(x) \geq 0$ ．