已知圆 C 的圆心与抛物线 y^ 2 =4 x 的焦点关于…——2008 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
（4分）（2008 • 天津）已知圆 C 的圆心与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点关于直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 对称．直线 $4 x-3 y-2=0$ 与圆 C 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且 $|\mathrm{AB}|=6$ ，则圆 C 的方程为 $x 2+(y-1) 2=10$ ．
【考点】抛物线的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．
【专题】计算题．
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线 $4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-2=0$的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．
【解答】解：依题意可知抛物线的焦点为 $(1,0)$ ，
∵ 圆 C 的圆心与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点关于直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 对称。
所以圆心坐标为 $(0,1)$ ，
$\therefore r^{2}=3^{2}+\frac{(0-3-2)^{2}}{5^{2}}=10$ ，
圆 C 的方程为 $x^{2}+(y-1)^{2}=10$
故答案为 $x^{2}+(y-1)^{2}=10$
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了圆的基本性质，对称性问题，点到直线的距离，数形结合思想等问题。

【解答】
$x^{2}+(y-1)^{2}=10$

【解答】
（4分）（2008 • 天津）已知圆 C 的圆心与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点关于直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 对称．直线 $4 x-3 y-2=0$ 与圆 C 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且 $|\mathrm{AB}|=6$ ，则圆 C 的方程为 $x 2+(y-1) 2=10$ ．
【考点】抛物线的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．
【专题】计算题．
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线 $4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-2=0$的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．
【解答】解：依题意可知抛物线的焦点为 $(1,0)$ ，
∵ 圆 C 的圆心与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点关于直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 对称。
所以圆心坐标为 $(0,1)$ ，
$\therefore r^{2}=3^{2}+\frac{(0-3-2)^{2}}{5^{2}}=10$ ，
圆 C 的方程为 $x^{2}+(y-1)^{2}=10$
故答案为 $x^{2}+(y-1)^{2}=10$
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了圆的基本性质，对称性问题，点到直线的距离，数形结合思想等问题。