圆的方程　·　历年高考数学真题与解析

12．$(x-1)^{2}+y^{2}=25$ 的圆心与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 重合， A 为两曲线的交点，则原点到直线 $A F$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．

11．已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-4=0$ ，则 $x-y$ 的最大值是（）

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，$\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ ，半径为 1 ．
（1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程；
（2）过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

11．（5 分）设抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，则以 $F$ 为圆心，且与 $l$ 相切的圆的方程为 $\_\_\_\_$ $(x-1)^{2}+y^{2}=4$ ．

15．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方，若线段 $P F$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心，$|O F|$ 为半径的圆上，则直线 $P F$ 的斜率是 $\_\_\_\_$ ．

19．（12分）设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，$|\mathrm{AB}|=8$ ．
（1）求$l$的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

12．（5分）设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，准线为 I ．已知点 C 在 I 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 $\angle \mathrm{FAC}=120^{\circ}$ ，则圆的方程为 $\_\_\_\_$ ．

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $y=x^{2}+m x-2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $C$的坐标为 $(0,1)$ ，当 m 变化时，解答下列问题：
①能否出现 $A C \perp B C$ 的情况？说明理由；
②证明过 $A , B , C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值．

10．（5分）以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D$ 、 $E$ 两点．已知 $|A B|=4 \sqrt{2},|D E|=2 \sqrt{5}$ ，则 $C$ 的焦点到准线的距离为（）

18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 $\mathrm{M}: \mathrm{x}^{2}+ y^{2}-12 x-14 y+60=0$ 及其上一点A（2，4）。
（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 $\mathrm{x}=6$ 上，求圆 N 的标准方程；
②设平行于 OA 的直线 $l$ 与圆 M 相交于 $\mathrm{B} , \mathrm{C}$ 两点，且 $\mathrm{BC}=\mathrm{OA}$ ，求直线 $l$ 的方程；
③设点 $\mathrm{T}(\mathrm{t}, 0)$ 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 $\overrightarrow{\mathrm{TA}}+\overrightarrow{\mathrm{TP}}=\overrightarrow{\mathrm{TQ}}$ ，求实数 t 的取值范围

12．若点 $P(1,2)$ 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

14．（5分）一个圆经过椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的三个顶点．且圆心在 $x$ 轴的正半轴上．则该圆标准方程为 $-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{25}{4}$ ．

16．如图，已知圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A, B$（ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $|A B|=2$ ．

（I）圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$ ；
（II）圆 $C$ 在点 $B$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $\_\_\_\_$ ．

21．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $D$ 在椭圆上，
$D F_{1} \perp F_{1} F_{2}, \frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}, \Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．．

## 题（21）图

9．设 $P, Q$ 分别为 $x^{2}+(y-6)^{2}=2$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{10}+y^{2}=1$ 上的点，则 $P, Q$ 两点间的最大距离是（ ）

9．过双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右顶点作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 的一条渐近线相交于 $A$ 。若以 $C$ 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 $A , O$ 两点（ $O$ 为坐标原点），，则双曲线 $C$ 的方程为（ ）
A．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
В．$\frac{x^{2}}{7}-\frac{y^{2}}{9}=1$
C．$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{8}=1$
D．$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$

（21）（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
如题（21）图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A , A^{\prime}$ 两点，$\left|A A^{\prime}\right|=4$ 。（I）求该椭圆的标准方程；
（II）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 $P , P^{\prime}$ ，过 $P , P^{\prime}$作圆心为 $Q$ 的圆，使陏圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $P Q \perp P^{\prime} Q$ ，求圆 $Q$

题（21）图

20．（12分）设抛物线 $C$ ：$x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, A \in C$ ，已知以 $F$为圆心，$F A$ 为半径的圆 $F$ 交于 $B$ ，$D$ 两点；
（1）若 $\angle B F D=90^{\circ}, \triangle A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点 ，求坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值．

（21）（满分 14 分）
以知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}(-c, 0)$ 和 $F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，过点 $E\left(\frac{a^{2}}{c}, 0\right)$ 的直线与陏圆相交与 $A, B$ 两点，且 $F_{1} A / / F_{2} B,\left|F_{1} A\right|=2\left|F_{2} B\right|$ 。
（1）求椭圆的离心率
（2）求直线 AB 的斜率；
③设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 $F_{2} B$ 上有一点 $H(m, n)(m \neq 0)$ 在 $\Delta A F_{1} C$ 的外接圆上，求 $\frac{n}{m}$ 的值

13．已知圆 $C$ 的圆心与抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点关于直线 $y=x$ 对称，直线 $4 x-3 y-2=0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=6$ ，则圆 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$。

7．已知 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆的两个焦点．满足 $\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}=0$ 的点 $M$ 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是