4．（5分）函数 $y=\frac{1+\ln (x-1)}{2}(x>1)$ 的反函数是（ ）
参考答案
D
（5分）函数 y= 1+ln (x-1) 2 (x>1)…——2010 高考数学第 4 题答案解析
2010_旧全国 II 卷 (2010·文)
完整解析 · 逐步详解
【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】从条件中 $y=\frac{1+\ln (x-1)}{2}(x>1)$ 中反解出 $x$ ，再将 $x, y$ 互换即得。解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换： $\mathrm{x} , \mathrm{y}$ 换位
，2、解：解出 $\mathrm{y}, 3$ 、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
【解答】解：由原函数解得
$x=e^{2 y-1}+1$ ，
$\therefore f^{-1}(x)=e^{2 x-1}+1$ ，
又 $x>1, \therefore x-1>0$ ；
$\therefore \ln (x-1) \in R$ ：在反函数中 $x \in R$ ，
故选：D．
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：①由已知解析式 $y=f(x)$ 反求出 $x= \Phi(y)$ ；②交换 $x=\Phi(y)$ 中 $x$ 、 $y$ 的位置；③求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）。
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