【解答】
（5分）（2010•湖南）若数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足：对任意的 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，只有有限个正整数 m 使得 $\mathrm{a}_{\mathrm{m}} <n$ 成立，记这样的 $m$ 的个数为 $\left(a_{n}\right)^{+}$，则得到一个新数列 $\left\{\left(a_{n}\right)^{+}\right\}$。例如，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $1,2,3 \ldots, n, \ldots$ ，则数列 $\left\{\left(a_{n}\right)^{+}\right\}$是 $0,1,2, \ldots, n-1 \ldots$ 已知对任意的 $n \in N^{+}, a_{n}=n^{2}$ ，则 $\left(\mathrm{a}_{5}\right)^{+}=$ $\_\_\_\_$ 2 ，$\left(\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)^{+}\right)^{+}=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{n}^{2}$。
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；压轴题；新定义．
【分析】根据题意，若 $a_{m}<5$ ，而 $a_{n}=n^{2}$ ，知 $m=1,2, \therefore\left(a_{5}\right)^{+}=2$ ，由题设条件可知 $\left(\left(a_{1}\right.\right. \left.)^{+}\right)^{+}=1, \quad\left(\left(a_{2}\right)^{+}\right)^{+}=4, \quad\left(\left(a_{3}\right)^{+}\right)^{+}=9, \quad\left(\left(a_{4}\right)^{+}\right)^{+}=16$ ，于是猜想：$\quad\left(\left(a_{n}\right)^{+}\right)^{+} =\mathrm{n}^{2}$ 。
【解答】解：$\because a_{m}<5$ ，而 $a_{n}=n^{2}, \therefore m=1,2, \therefore\left(a_{5}\right)^{+}=2$ ．
$\because\left(a_{1}\right)^{+}=0, \quad\left(a_{2}\right)^{+}=1, \quad\left(a_{3}\right)^{+}=1, \quad\left(a_{4}\right)^{+}=1$,
$\left(a_{5}\right)^{+}=2, \quad\left(a_{6}\right)^{+}=2, \quad\left(a_{7}\right)^{+}=2, \quad\left(a_{8}\right)^{+}=2, \quad\left(a_{9}\right){ }^{+}=2$,
$\left(a_{10}\right)^{+}=3, \quad\left(a_{11}\right)^{+}=3, \quad\left(a_{12}\right)^{+}=3, \quad\left(a_{13}\right)^{+}=3, \quad\left(a_{14}\right)^{+}=3, \quad\left(a_{15}\right)^{+}=3, \quad\left(a_{16}\right)^{+}=3$
，
$\therefore\left(\left(a_{1}\right)^{+}\right)^{+}=1, \quad\left(\left(a_{2}\right)^{+}\right)^{+}=4, \quad\left(\left(a_{3}\right)^{+}\right)^{+}=9, \quad\left(\left(a_{4}\right)^{+}\right)^{+}=16$,
猜想：$\left(\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)^{+}\right)^{+}=\mathrm{n}^{2}$ 。
答案： $2, n^{2}$ 。
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题．仔细解答．