已知 f(x) 为函数 y=cos (2 x+ π 6 )…——2023 高考数学第 10 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】先利用三角函数平移的性质求得 $f(x)=-\sin 2 x$ ，再作出 $f(x)$ 与 $y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 的部分大致图像，考虑特殊点处 $f(x)$ 与 $y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 的大小关系，从而精确图像，由此得解。

【详解】因为 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位所得函数为
$y=\cos \left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin 2 x$ ，所以 $f(x)=-\sin 2 x$ ，
而 $y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 显然过 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$ 与 $(1,0)$ 两点，
作出 $f(x)$ 与 $y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 的部分大致图像如下，

考虑 $2 x=-\frac{3 \pi}{2}, 2 x=\frac{3 \pi}{2}, 2 x=\frac{7 \pi}{2}$ ，即 $x=-\frac{3 \pi}{4}, x=\frac{3 \pi}{4}, x=\frac{7 \pi}{4}$ 处 $f(x)$ 与 $y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 的大小关系，
当 $x=-\frac{3 \pi}{4}$ 时，$f\left(-\frac{3 \pi}{4}\right)=-\sin \left(-\frac{3 \pi}{2}\right)=-1, y=\frac{1}{2} \times\left(-\frac{3 \pi}{4}\right)-\frac{1}{2}=-\frac{3 \pi+4}{8}<-1$ ；
当 $x=\frac{3 \pi}{4}$ 时，$f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=-\sin \frac{3 \pi}{2}=1, y=\frac{1}{2} \times \frac{3 \pi}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3 \pi-4}{8}<1$ ；
当 $x=\frac{7 \pi}{4}$ 时，$f\left(\frac{7 \pi}{4}\right)=-\sin \frac{7 \pi}{2}=1, y=\frac{1}{2} \times \frac{7 \pi}{4}-\frac{1}{2}=\frac{7 \pi-4}{8}>1$ ；
所以由图可知，$f(x)$ 与 $y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 的交点个数为 3 ．
故选：C．