2014_新课标 II 卷 (2014·理)
23．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，半圆 C 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$
（I）求 C 的参数方程；
（II）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 $\mathrm{I}: \mathrm{y}=\sqrt{3} \mathrm{x}+2$ 垂直，根据（1 ）中你得到的参数方程，求直线 $C D$ 的倾斜角及 $D$ 的坐标。
【考点】 QH ：参数方程化成普通方程．
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】①利用 $\left\{\begin{array}{c}\rho^{2}=x^{2}+y^{2} \\ x=\rho \cos \theta\end{array}\right.$ 即可得出直角坐标方程，利用 $\cos ^{2} t+\sin ^{2} t=1$ 进而得出参数方程。
②利用半圆 $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $\mid: y=\sqrt{3} x+2$ 垂直，则直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mid$的斜率相等，即可得出直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标。
【解答】解：①由半圆 C 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ ，可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1 ~(0 \leq y \leq 1) ~$ ．
可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数， $0 \leq t \leq \pi$ ）．
②设 $\mathrm{D}(1+\cos \mathrm{t}, \sin$
$\mathrm{t})$ ，由①知 C 是以 $\mathrm{C}(1,0)$ 为圆心， 1 为半径的上半圆，
∵ 直线 CD 的斜率与直线 $l$ 的斜率相等，$\therefore \tan \mathrm{t}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$ ．
故 D 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$ ，即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ．
【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．