如图，在四棱锥 P-A B C D 中，底面 A B C…——2019 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，$\triangle P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C \perp$ 平面 $P C D, P A \perp C D, C D=2, A D=3$ ，

（I）设 $G, H$ 分别为 $P B, A C$ 的中点，求证：$G H / /$ 平面 $P A D$ ；
（II）求证：$P A \perp$ 平面 $P C D$ ；
（III）求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

## 【解析】

## 【分析】

（I）连接 $B D$ ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 $G H \| P D$ ，利用线面平行的判定定理证得结果；
（II）取棱 $P C$ 的中点 $N$ ，连接 $D N$ ，依题意，得 $D N \perp P C$ ，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到 $D N \perp P A$ ，利用线面垂直的判定定理证得结果；
（III）利用线面角的平面角的定义得到 $\angle D A N$ 为直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成的角，放在直角三角形中求得结果。

【详解】（I）证明：连接 $B D$ ，易知 $A C \cap B D=H, B H=D H$ ，

又由 $B G=P G$ ，故 $G H \| P D$ ，
又因为 $G H \not \subset$ 平面 $P A D, P D \subset$ 平面 $P A D$ ，
所以 $G H / /$ 平面 $P A D$ ．
（II）证明：取棱 $P C$ 的中点 $N$ ，连接 $D N$ ，依题意，得 $D N \perp P C$ ，
又因为平面 $P A C \perp$ 平面 $P C D$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $P C D=P C$ ，
所以 $D N \perp$ 平面 $P A C$ ，又 $P A \subset$ 平面 $P A C$ ，故 $D N \perp P A$ ，
又已知 $P A \perp C D, C D \cap D N=D$ ，
所以 $P A \perp$ 平面 $P C D$ ．
（III）解：连接 $A N$ ，由（II）中 $D N \perp$ 平面 $P A C$ ，
可知 $\angle D A N$ 为直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成的角．
因为 $\triangle P C D$ 为等边三角形，$C D=2$ 且 $N$ 为 $P C$ 的中点，
所以 $D N=\sqrt{3}$ ，又 $D N \perp A N$ ，

在 Rt $\triangle A N D$ 中， $\sin \angle D A N=\frac{D N}{A D}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

所以，直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．