线面角　·　历年高考数学真题与解析

18．在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1}=2, A_{1} C \perp$ 底面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}, A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 1.

（1）求证：$A C=A_{1} C$ ；
（2）若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为 2 ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美。如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形。若 $A B=25 \mathrm{~m}, B C=A D=10 \mathrm{~m}$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

18．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp$ 底面 $A B C D, C D / / A B, A D=D C=C B=1, A B=2, D P=\sqrt{3}$ ．

（1）证明：$B D \perp P A$ ；
（2）求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

19．（15分）如图，已知多面体 $A B C A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} A, B_{1} B, C_{1} C$ 均垂直于平面 $A B C$ ， $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}=4, \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}=1, \quad \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B}=2$.
（ I ）证明：$A B_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1}$ 所成的角的正弦值．