2026_天津卷
14. 已知 $\left| \vec { a } \right| = \vec { a } \cdot \vec { b } = 1 ~ ( \left| \vec { b } \right| > 1 )$ ),设 $\overrightarrow { c } = \lambda \overrightarrow { a } + u \overrightarrow { b }$ ，且 ${ \vec { a } } + { \vec { b } } - { \vec { c } } = { \vec { 0 } }$ ，则 $\lambda + u =$ ;若 $| \vec { a } + \vec { b } - \vec { c } | = 1 ,$ 则 $\lambda + u =$ 的取值范围是
2,[1,3]
【答案】2,[1,3]
【解析】本题考查向量的线性表示，向量模长的计算.
第一空:由 ${ \overrightarrow { c } } = \lambda { \overrightarrow { a } } + u { \overrightarrow { b } } \operatorname { H } { \overrightarrow { d } } + { \overrightarrow { b } } - { \overrightarrow { c } } = { \overrightarrow { 0 } }$
$$ \therefore { \overrightarrow { c } } = { \overrightarrow { a } } + { \overrightarrow { b } } = \lambda { \overrightarrow { a } } + u { \overrightarrow { b } } $$
$$ \therefore \lambda = u = 1 $$
$$ \therefore \lambda + u = 2 $$
第二空:设d与 $\xrightarrow [ b ] { }$ 夹角为θ.
$$ | \vec { \textbf { \em a } } | = \vec { \textbf { \em a } } \cdot \vec { b } = 1 $$
$$ \therefore \vert { \overrightarrow { a } } \vert = \vert { \overrightarrow { a } } \vert \cdot \vert { \overrightarrow { b } } \vert \cdot \cos \theta = 1 $$
$$ \therefore | { \vec { b } } | \cos \theta = 1 $$
不妨设 $\vec { a } = ( 1 , 0 ) , \vec { b } = ( 1 , 1 ) , \vec { c } = ( x , y )$
$$ \vec { a } + \vec { b } - \vec { c } = ( 2 - x , - y ) $$
$$ | \vec { a } + \vec { b } - \vec { c } | = 1 $$
$$ \therefore ( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 $$
设 $\vec { \cal C } = \overrightarrow { { \cal O } { \cal C } } ,$
C点轨迹是以(2,0)为圆心，半径为1的圆.
当 ${ \vec { c } } = { \vec { b } } \oplus \mathbb { Q } \mathbb { C } ^ { \prime }$ 点落在A(1,1)处时.
$$ \overrightarrow { c } = \lambda \overrightarrow { a } + u \overrightarrow { b } $$
$$ ( 1 , 1 ) = \lambda ( 1 , 0 ) + u ( 1 , 1 ) = ( \lambda + u , u ) $$
λ + u = 1取得最小值.
当 $\vec { c } = ( 3 , 1$ 时，即 C点落在 B(3,1)处时.
$$ \overrightarrow { c } = \lambda \overrightarrow { a } + u \overrightarrow { b } $$
$$ ( 3 , 1 ) = ( \lambda + u , u ) $$
$\lambda + u = 3 .$ 取得最大值.
答案为[1,3]
故答案为：第一空2;第二空[1,3].