实数 a, b 满足 a + b ≥ 3 . （1）证明：…——2024 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）证明见解析

(2) 证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接利用 $2a^{2} + 2b^{2} \geq (a + b)^{2}$ 即可证明.

(2) 根据绝对值不等式并结合 (1) 中结论即可证明.

【小问 1 详解】

因为 $2a^{2} + 2b^{2} - (a + b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} \geq 0$

当 $a = b$ 时等号成立，则 $2a^{2} + 2b^{2} \geq (a + b)^{2}$ ，

因为 $a + b \geq 3$ ，所以 $2a^{2} + 2b^{2} \geq (a + b)^{2} > a + b$ ;

【小问 2 详解】

$$ \begin{array}{l} \left| a - 2 b ^ {2} \right| + \left| b - 2 a ^ {2} \right| \geq \left| a - 2 b ^ {2} + b - 2 a ^ {2} \right| = \left| 2 a ^ {2} + 2 b ^ {2} - (a + b) \right| \\ = 2 a ^ {2} + 2 b ^ {2} - (a + b) \geq (a + b) ^ {2} - (a + b) = (a + b) (a + b - 1) \geq 3 \times 2 = 6 \end{array} $$