在 A B C 中， sin 2 C= 3 sin C ．…——2022 高考数学第 16 题答案解析

【答案】①$\frac{\pi}{6}$
② $6+6 \sqrt{3}$

## 【解析】

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 $\cos C$ 的值，结合角 $C$ 的取值范围可求得角 $C$ 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 $a$ 的值，由余弦定理可求得 $c$ 的值，即可求得 $\triangle A B C$ 的周长．

## 【小问 1 详解】

解：因为 $C \in(0, \pi)$ ，则 $\sin C>0$ ，由已知可得 $\sqrt{3} \sin C=2 \sin C \cos C$ ，
可得 $\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，因此，$C=\frac{\pi}{6}$ ．

## 【小问 2 详解】

解：由三角形的面积公式可得 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{3}{2} a=6 \sqrt{3}$ ，解得 $a=4 \sqrt{3}$ ．
由余弦定理可得 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=48+36-2 \times 4 \sqrt{3} \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=12$ ，
$\therefore c=2 \sqrt{3}$ ，
所以，$\triangle A B C$ 的周长为 $a+b+c=6 \sqrt{3}+6$ ．