2021_天津卷 (2021)
16．在 $\triangle A B C$ ，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知
$\sin A: \sin B: \sin C=2: 1: \sqrt{2}, \quad b=\sqrt{2}$.
（I）求 $a$ 的值；
（II）求 $\cos C$ 的值；
（III）求 $\sin \left(2 C-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值．
【答案】
（I） $2 \sqrt{2}$ ；
（II）（III）$\frac{3 \sqrt{21}-1}{16}$
## 【解析】
【分析】（I）由正弦定理可得 $a: b: c=2: 1: \sqrt{2}$ ，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出 $2 C$ 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（I）因为 $\sin A: \sin B: \sin C=2: 1: \sqrt{2}$ ，由正弦定理可得 $a: b: c=2: 1: \sqrt{2}$ ， $\because b=\sqrt{2}, \quad \therefore a=2 \sqrt{2}, c=2$ ；
（II）由余弦定理可得 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{8+2-4}{2 \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{3}{4}$ ；
（III）$\because \cos C=\frac{3}{4}, \quad \therefore \sin C=\sqrt{1-\cos ^{2} C}=\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，
$\therefore \sin 2 C=2 \sin C \cos C=2 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{3 \sqrt{7}}{8}, \cos 2 C=2 \cos ^{2} C-1=2 \times \frac{9}{16}-1=\frac{1}{8}$ ，
所以 $\sin \left(2 C-\frac{\pi}{6}\right)=\sin 2 C \cos \frac{\pi}{6}-\cos 2 C \sin \frac{\pi}{6}=\frac{3 \sqrt{7}}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{8} \times \frac{1}{2}=\frac{3 \sqrt{21}-1}{16}$ ．