（本小题满分 12 分） A B C 的内角 A, B,…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；②$\frac{3}{4}$ ．

【解析】

试题分析：（1）因为 $a, b, c$ 成等差数列，所以 $a+c=2 b$ ，再由三角形正弦定理得 $\sin A+\sin C=2 \sin B$ ，又在 $\triangle A B C$ 中，有 $B=\pi-(A+B)$ ，所以 $\sin B=\sin [\pi-(A+C)]=\sin (A+C)$ ，最后得： $\sin A+\sin C=2 \sin (A+C)$ ，即得证；
（2）因为 $a, b, c$ 成等比数列，所以 $b^{2}=2 a c$ ，由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+c^{2}-a c}{2 a c} =\frac{a^{2}+c^{2}}{2 a c}-\frac{1}{2}$ ，又 $c=2 a$ ，所以 $\cos B$ 的值为 $\frac{3}{4}$

试题解析：（1）$\because a, b, c$ 成等差数列
$\therefore a+c=2 b$
由正弦定理得 $\sin A+\sin C=2 \sin B$
$\because \sin B=\sin [\pi-(A+C)]=\sin (A+C)$
$\therefore \sin A+\sin C=2 \sin (A+C)$
②$\because a, b, c$ 成等比数列
$\therefore b^{2}=2 a c$

由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+c^{2}-a c}{2 a c}=\frac{a^{2}+c^{2}}{2 a c}-\frac{1}{2}$
$\because c=2 a$
$\therefore \cos B=\frac{a^{2}+4 a^{2}}{4 a^{2}}=\frac{3}{4}$
$\therefore \cos B=\frac{3}{4}$
考点：正弦定理；余弦定理．