在 A B C 中， A B=2, B A C=60^ ,…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 2
【解析】
**方法一**：利用余弦定理求出 $A C$ ，再根据等面积法求出 $A D$ ；
**方法二**：利用余弦定理求出 $A C$ ，再根据正弦定理求出 $B, C$ ，即可根据三角形的特征求出．

【详解】

如图所示：记 $A B=c, A C=b, B C=a$ ，

**方法一**：由余弦定理可得， $2^{2}+b^{2}-2 \times 2 \times b \times \cos 60^{\circ}=6$ ，

因为 $b>0$ ，解得：$b=1+\sqrt{3}$ ，

由 $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B D}+S_{\triangle A C D}$ 可得，

$\frac{1}{2} \times 2 \times b \times \sin 60^{\circ}=\frac{1}{2} \times 2 \times A D \times \sin 30^{\circ}+\frac{1}{2} \times A D \times b \times \sin 30^{\circ}$ ，
解得：$A D=\frac{\sqrt{3} b}{1+\frac{b}{2}}=\frac{2 \sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}=2$ ．
故答案为： 2 ．
**方法二**：由余弦定理可得， $2^{2}+b^{2}-2 \times 2 \times b \times \cos 60^{\circ}=6$ ，因为 $b>0$ ，解得：$b=1+\sqrt{3}$ ，
由正弦定理可得，$\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{b}{\sin B}=\frac{2}{\sin C}$ ，解得： $\sin B=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}, \sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
因为 $1+\sqrt{3}>\sqrt{6}>\sqrt{2}$ ，所以 $C=45^{\circ}, B=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$ ，

又 $\angle B A D=30^{\circ}$ ，所以 $\angle A D B=75^{\circ}$ ，即 $A D=A B=2$ ．
故答案为： 2 ．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规。