在 A B C 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a,…——2022 高考数学第 16 题答案解析

【答案】①$c=1$
② $\sin B=\frac{\sqrt{10}}{4}$

③ $\sin (2 A-B)=\frac{\sqrt{10}}{8}$

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$ 以及 $b=2 c$ 解方程组即可求出；
②由①可求出 $b=2$ ，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出 $\sin 2 A, \cos 2 A$ ，再根据两角差的正弦公式即可求出．

【小问 1 详解】

因为 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$ ，即 $6=b^{2}+c^{2}+\frac{1}{2} b c$ ，而 $b=2 c$ ，代入得 $6=4 c^{2}+c^{2}+c^{2}$ ，解得： $c=1$ ．

【小问 2 详解】

由①可求出 $b=2$ ，而 $0<A<\pi$ ，所以 $\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，又 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，所以 $\sin B=\frac{b \sin A}{a}=\frac{2 \times \frac{\sqrt{15}}{4}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

【小问 3 详解】
因为 $\cos A=-\frac{1}{4}$ ，所以 $\frac{\pi}{2}<A<\pi$ ，故 $0<B<\frac{\pi}{2}$ ，又 $\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，所以 $\sin 2 A=2 \sin A \cos A=2 \times\left(-\frac{1}{4}\right) \times \frac{\sqrt{15}}{4}=-\frac{\sqrt{15}}{8}, \quad \cos 2 A=2 \cos ^{2} A-1=2 \times \frac{1}{16}-1=-\frac{7}{8}$ ，而 $\sin B=\frac{\sqrt{10}}{4}$ ，所以 $\cos B=\sqrt{1-\sin ^{2} B}=\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，

故 $\sin (2 A-B)=\sin 2 A \cos B-\cos 2 A \sin B=\left(-\frac{\sqrt{15}}{8}\right) \times \frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{7}{8} \times \frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{10}}{8}$ ．