2010 全国高考数学 2010_旧全国 I 卷 (2010·文) 第 9 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

9．（5分）正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为（

Accepted Answer

D

【考点】MI：直线与平面所成的角；$M K$ ：点、线、面间的距离计算． 【专题】5G：空间角。 【分析】正方体上下底面中心的连线平行于 $\mathrm{BB}_{1}$ ，上下底面中心的连线与平面 AC $\mathrm{D}_{1}$ 所成角，即为 $\mathrm{BB}_{1}$ 与平面 $\mathrm{ACD}_{1}$ 所成角， 直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值。 【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为 $\mathrm{O}_{1}, \mathrm{O}$ ，设正方体的棱长等于 1 ，则 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}$ 与平面 $\mathrm{ACD}_{1}$ 所成角就是 $\mathrm{BB}_{1}$ 与平面 $\mathrm{ACD}_{1}$ 所成角，即 $\angle \mathrm{O}_{1} \mathrm{OD}_{1}$ ，直角三角形 $\mathrm{OO}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， $\cos \angle \mathrm{O}_{1} \mathrm{OD}_{1}=\frac{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}}{\mathrm{OD}_{1}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， 故选：D． ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/315d761f-279c-4076-b12e-fa8db2f87d79-07.jpg?height=490&width=494&top_left_y=737&top_left_x=306) 【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 $\mathrm{ACD}_{1}$ 的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题

2010 高考数学第 9 题答案解析

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