（15分）（2016•浙江）设数列 a_ n 的前 n 项…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【分析】（I）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是公比 $q=3$ 的等比数列，即可求通项公式 $a_{n}$ ；
（II）讨论 $n$ 的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列 $\left\{\left|a_{n}-n-2\right|\right\}$的前 $n$ 项和。
【解答】解：（I ）$\because \mathrm{S}_{2}=4, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ．
$\therefore \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}=4, \quad \mathrm{a}_{2}=2 \mathrm{~S}_{1}+1=2 \mathrm{a}_{1}+1$ ，
解得 $a_{1}=1, a_{2}=3$ ，
当 $n \geqslant 2$ 时，$a_{n+1}=2 S_{n}+1, a_{n}=2 S_{n-1}+1$ ，
两式相减得 $a_{n+1}-a_{n}=2\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=2 a_{n}$ ，
即 $a_{n+1}=3 a_{n}$ ，当 $n=1$ 时，$a_{1}=1, ~ a_{2}=3$ ，
满足 $a_{n+1}=3 a_{n}$ ，
$\therefore \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=3$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比 $q=3$ 的等比数列，
则通项公式 $a_{n}=3^{n-1}$ 。
（II）$a_{n}-n-2=3^{n-1}-n-2$ ，
设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\mathrm{n}-2\right|=\left|3^{\mathrm{n}-1}-\mathrm{n}-2\right|$ ，
则 $\mathrm{b}_{1}=\left|3^{0}-1-2\right|=2, ~ \mathrm{~b}_{2}=|3-2-2|=1$ ，
当 $n \geqslant 3$ 时， $3^{n-1}-n-2>0$ ，
则 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\mathrm{n}-2\right|=3^{\mathrm{n}-1}-\mathrm{n}-2$ ，
此时数列 $\left\{\left|a_{n}-n-2\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}=3+\frac{9\left(1-3^{n-2}\right)}{1-3}-\frac{(5+n+2)(n-2)}{2}=$
$\frac{3^{n}-n^{2}-5 n+11}{2}$,

则 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\left\{\begin{array}{ll}2, & \mathrm{n}=1 \\ 3, & \mathrm{n}=2 \\ \frac{3^{\mathrm{n}}-\mathrm{n}^{2}-5 \mathrm{n}+11}{2}, & \mathrm{n} \geqslant 3\end{array}=\left\{\begin{array}{ll}2, & \mathrm{n}=1 \\ \frac{3^{\mathrm{n}}-\mathrm{n}^{2}-5 \mathrm{n}+11}{2}, & \mathrm{n} \geqslant 2\end{array}\right.\right.$ 。
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和。