分类讨论高考真题解析

13．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ ，则过 $(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 $\_\_\_\_$ ．

15．已知 $M=\left\{k \mid a_{k}=b_{k}\right\}, a_{n}, b_{n}$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是
①$a_{n}, b_{n}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多一个元素；
②$a_{n}, b_{n}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
③$a_{n}$ 为等差数列，$b_{n}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
④$a_{n}$ 单调递增，$b_{n}$ 单调递减，则 $M$ 中最多一个元素．

18．已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元

在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；

（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 \%$ ，已赔偿过的增加 $20 \%$ 。估计保单下一保险期毛利润的数学期望。

16．有 6 个相同的球，分别标有数字 $1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ ，从中不放回地随机抽取 3 次，每次取 1 个球．记 $m$为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是

18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4 S_{n}=3 a_{n}+4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=(-1)^{n-1} n a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

21．已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）

4．下列函数是偶函数的是

19．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{2}=a_{3}-1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

②设 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}k, n=a_{k} \\ b_{n-1}+2 k, a_{k}（i）当 $n=a_{k+1}$ 时，求证：$b_{n-1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{S_{n}} b_{i}$ ．

20．设函数 $f(x)=x \ln x$ ．
（1）求 $f(x)$ 图象上点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x) \geq a(x-\sqrt{x})$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）若 $x_{1}, x_{2} \in(0,1)$ ，证明 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq\left|x_{1}-x_{2}\right|^{\frac{1}{2}}$ ．

14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$ ，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$。

16．已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上两点．
（1）求 $C$ 的离心率；
（2）若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $\triangle A B P$ 的面积为 9 ，求 $l$ 的方程．

19．设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j}(i（1）写出所有的 $(i, j), 1 \leq i（2）当 $m \geq 3$ 时，证明：数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)-$ 可分数列；
（3）从 $1,2, \ldots, 4 m+2$ 中一次任取两个数 i 和 $j(i\frac{1}{8}$ ．

10．抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）

16．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-a^{3}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0 ，求 $a$ 的取值范围．

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$ ，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．
（1）若 $p=0.4, q=0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率．
（2）假设 $0（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

15．设 $a>0$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x<-a, \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}},-a \leq x \leq a, \text { 给出下列四个结论：} \\ -\sqrt{x}-1, x>a .\end{array}\right.$
①$f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty)$ 上单调递减；
（2）当 $a \geq 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值；
③设 $M\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{1} \leq a\right), N\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{2}>a\right)$ ，则 $|M N|>1$ ；
④设 $P\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)\left(x_{3}<-a\right), Q\left(x_{4}, f\left(x_{4}\right)\right)\left(x_{4} \geq-a\right)$ 。若 $|P Q|$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.

其中所有正确结论的序号是

17．设函数 $f(x)=\sin \omega x \cos \varphi+\cos \omega x \sin \varphi\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）若 $f(0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\varphi$ 的值．
（2）已知 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，$f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=1$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f(x)$ 存在，求 $\omega, \varphi$ 的值．

条件①：$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}$ ；

条件②：$f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-1$ ；
条件③：$f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减。
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用＂＋＂表示＂上涨＂，即当天价格比前一天价格高；用＂－＂表示＂下跌＂，即当天价格比前一天价格低；用＂ 0 ＂表示＂不变＂，即当天价格与前一天价格相同。

用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格＂上涨＂的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天＂上涨＂、 1 天＂下跌＂、 1 天＂不变＂的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格＂上涨＂＂下跌＂和＂不变＂的概率估计值哪个最大。（结论不要求证明）

20．设函数 $f(x)=x-x^{3} \mathrm{e}^{a x+b}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
②设函数 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，求 $g(x)$ 的单调区间；
（3）求 $f(x)$ 的极值点个数．

21．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的项数均为 $m(m>2)$ ，且 $a_{n}, b_{n} \in\{1,2, \cdots, m\},\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}, B_{n}$ ，并规定 $A_{0}=B_{0}=0$ 。对于 $k \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，定义 $r_{k}=\max \left\{i \mid B_{i} \leq A_{k}, i \in\{0,1,2, \cdots, m\}\right\}$ ，其中， $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．
（1）若 $a_{1}=2, a_{2}=1, a_{3}=3, b_{1}=1, b_{2}=3, b_{3}=3$ ，求 $r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 的值；
（2）若 $a_{1} \geq b_{1}$ ，且 $2 r_{j} \leq r_{j+1}+r_{j-1}, j=1,2, \cdots, m-1$ ，求 $r_{n}$ ；
（3）证明：存在 $p, q, s, t \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，满足 $p>q, s>t$ ，使得 $A_{p}+B_{t}=A_{q}+B_{s}$ ．

1．设集合 $A=\{x \mid x=3 k+1, k \in Z\}, B=\{x \mid x=3 k+2, k \in Z\}$ ，$U$ 为整数集， ð $(A \bigcup B)=$

7．＂ $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta=1$＂是＂ $\sin \alpha+\cos \beta=0$＂的

9．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（ ）

19．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组 （加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（2）测得 40 只小鼠体重如下（单位： g ）：（已按从小到大排好）
对照组： $17.3 \quad 18.4 \quad 20.1 \quad 20.4 \quad 21.5 \quad 23.2 \quad 24.6 \quad 24.8 \quad 25.0 \quad 25.4$
$\begin{array}{llllllllll}26.1 & 26.3 & 26.4 & 26.5 & 26.8 & 27.0 & 27.4 & 27.5 & 27.6 & 28.3\end{array}$

（i）求 40 只小鼠体重的中位数 $m$ ，并完成下面 $2 \times 2$ 列联表：

（ii）根据 $2 \times 2$ 列联表，能否有 $95 \%$ 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。
参考数据：

20．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $C$ 的焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值．

21．已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）若 $\boldsymbol{a}=8$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

4．某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名。从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ）

13．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $8 S_{6}=7 S_{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $\_\_\_\_$ ．

19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
$\begin{array}{llllllllll}15.2 & 18.8 & 20.2 & 21.3 & 22.5 & 23.2 & 25.8 & 26.5 & 27.5 & 30.1\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}32.6 & 34.3 & 34.8 & 35.6 & 35.6 & 35.8 & 36.2 & 37.3 & 40.5 & 43.2\end{array}$
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

$\begin{array}{llllllllll}7.8 & 9.2 & 11.4 & 12.4 & 13.2 & 15.5 & 16.5 & 18.0 & 18.8 & 19.2\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}19.8 & 20.2 & 21.6 & 22.8 & 23.6 & 23.9 & 25.1 & 28.2 & 32.3 & 36.5\end{array}$
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（i）求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 $m$ ，再分别统计两样本中小于 $m$ 与不小于 $m$ 的数据的个数，完成如下列联表

（ii）根据（i）中的列联表，能否有 $95 \%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)+\sin x<0$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，$|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $F$ 为 $C$ 的焦点，$M, N$ 为 $C$ 上两点，且 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=0$ ，求 $\triangle M F N$ 面积的最小值．

10．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\frac{2 \pi}{3}$ ，集合 $S=\left\{\cos a_{n} \mid n \in \mathrm{~N}^{*}\right\}$ ，若 $S=\{a, b\}$ ，则 $a b=$（ ）

20．已知椭圆 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；

（2）过点（－2，3）的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

21．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明

理由。
（3）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

8．函数 $f(x)=x^{3}+a x+2$ 存在 3 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

18．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{2}=11, S_{10}=40$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线方程．
（2）若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．

15．若函数 $f(x)=a x^{2}-2 x-\left|x^{2}-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$ ．
（2）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ ，若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ ，则 $b_{k}（I）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k}-1（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和。