已知球 O 的半径为 1, 四棱锥的顶点为 O , 底面的…——2022 高考数学第 9 题答案解析

【答案】C
【解析】

**方法一**：先证明当四棱锥的顶点 $O$ 到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 $2r^2$ ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

**方法一**：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形 ABCD，四边形 ABCD 所在小圆半径为 r，

设四边形 ABCD 对角线夹角为 $\alpha$ ，

则 $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \alpha \leq \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \leq \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot 2r = 2r^2$

(当且仅当四边形 ABCD 为正方形时等号成立)

即当四棱锥的顶点 O 到底面 ABCD 所在小圆距离一定时，底面 ABCD 面积最大值为 $2r^{2}$

又设四棱锥的高为 h，则 $r^{2} + h^{2} = 1$ ，

$$ V _ {O - A B C D} = \frac {1}{3} \cdot 2 r ^ {2} \cdot h = \frac {\sqrt {2}}{3} \sqrt {r ^ {2} \cdot r ^ {2} \cdot 2 h ^ {2}} \leq \frac {\sqrt {2}}{3} \sqrt {\left(\frac {r ^ {2} + r ^ {2} + 2 h ^ {2}}{3}\right) ^ {3}} = \frac {4 \sqrt {3}}{2 7} $$

当且仅当 $r^2 = 2h^2$ 即 $h = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时等号成立.

故选：C

**方法二**：统一变量+基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 $a$ ，底面所在圆的半径为 $r$ ，则 $r = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，所以该四棱锥的高 $h = \sqrt{1 - \frac{a^2}{2}}$ ，

$$ V = \frac {1}{3} a ^ {2} \sqrt {1 - \frac {a ^ {2}}{2}} = \frac {4}{3} \sqrt {\frac {a ^ {2}}{4} \cdot \frac {a ^ {2}}{4} \cdot \left(1 - \frac {a ^ {2}}{2}\right)} \leq \frac {4}{3} \sqrt {\left(\frac {\frac {a ^ {2}}{4} + \frac {a ^ {2}}{4} + 1 - \frac {a ^ {2}}{2}}{3}\right) ^ {3}} = \frac {4}{3} \sqrt {\left(\frac {1}{3}\right) ^ {3}} = \frac {4 \sqrt {3}}{2 7} $$

(当且仅当 $\frac{a^{2}}{4}=1-\frac{a^{2}}{2}$ ，即 $a^{2}=\frac{4}{3}$ 时，等号成立)

所以该四棱锥的体积最大时，其高 $h = \sqrt{1 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

故选：C.

**方法三**：利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 $a$ ，底面所在圆的半径为 $r$ ，则 $r = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，所以该四棱锥的高 $h = \sqrt{1 - \frac{a^2}{2}}$ ， $V = \frac{1}{3} a^2\sqrt{1 - \frac{a^2}{2}}$ ，令 $a^2 = t(0 < t < 2)$ ， $V = \frac{1}{3}\sqrt{t^2 - \frac{t^3}{2}}$ ，设$f(t) = t^2 -\frac{t^3}{2}$ ，则 $f^{\prime}(t) = 2t - \frac{3t^{2}}{2}$ $0 < t < \frac{4}{3}$ ， $f^{\prime}(t) > 0$ ，单调递增， $\frac{4}{3} < t < 2$ ， $f^{\prime}(t) < 0$ ，单调递减，
所以当 $t = \frac{4}{3}$ 时， $V$ 最大，此时 $h = \sqrt{1 - \frac{a^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 故选：C.
**方法一**：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
**方法二**：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
**方法三**：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法.