2025_新课标 II 卷
16.（15分）椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，长轴长为4.
（1）求C的方程；
(2）过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原点，若 $S _ { \triangle O A B } = \sqrt { 2 }$ ，求 $\left| A B \right|$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解答】① $a = 2 ~ , ~ b = { \sqrt { 2 } } ~ , ~ c = { \sqrt { 2 } }$ ，椭圆方程为： ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } = 1$
> ②设 $l : y = k x - 2$ ，点P(0,-2)，点 $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$
联立 $\left\{ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } = 1 \right.$ 可得： $( 2 k ^ { 2 } + 1 ) x ^ { 2 } - 8 k x + 4 = 0$ ，其判别式为 $\Delta = 3 2 k ^ { 2 } - 1 6$
$x _ { 1 } + x _ { 2 } = \frac { 8 k } { 2 k ^ { 2 } + 1 } , x _ { 1 } x _ { 2 } = \frac { 4 } { 2 k ^ { 2 } + 1 } > 0$ (两根同号)，
由 $\Delta > 0$ ，可得 $k > \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ 或 $k < - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
$$ S _ { \triangle O A B } = S _ { \triangle O P B } - S _ { \triangle O P A } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \left| x _ { 2 } \right| - \frac { 1 } { 2 } \times 2 \left| x _ { 1 } \right| = \left| x _ { 2 } - x _ { 1 } \right| = \frac { \sqrt { \Delta } } { 2 k ^ { 2 } + 1 } = \sqrt { 2 } \ , $$
解得 $k ^ { 2 } = \frac { 3 } { 2 }$
$$ \left| A B \right| = \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } \left| x _ { 2 } - x _ { 1 } \right| = \sqrt { \frac { 5 } { 2 } } \times \sqrt { 2 } = \sqrt { 5 } \ . $$