2016_上海卷 (2016·理)
19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 6 分．
将边长为 1 的正方形 $A A_{1} O_{1} O$（及其内部）绕的 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\overparen{A C}$ 长为 $\frac{2}{3} \pi, \widehat{A_{1} B_{1}}$ 长为 $\frac{\pi}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧．
（1）求三棱锥 $C-O_{1} A_{1} B_{1}$ 的体积；
（2）求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成的角的大小．
【答案】
①$\frac{\sqrt{3}}{12}$ ；
②$\frac{\pi}{4}$ ．
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 $h=1$ ，底面半径 $r=1, \angle \mathrm{~A}_{1} \mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\frac{\pi}{3}$ ，再由三角形面积公式计算 $S_{\Delta \mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}_{1}}$ 后即得．
（2）设过点 $\mathrm{B}_{1}$ 的母线与下底面交于点 B ，根据 $\mathrm{BB}_{1} / / \mathrm{AA}_{1}$ ，知 $\angle \mathrm{CB}_{1} \mathrm{~B}$ 或其补角为直线 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 与 $\mathrm{AA}_{1}$ 所成的角，再结合题设条件确定 $\angle \mathrm{COB}=\frac{\pi}{3}, \mathrm{CB}=1$ ．得出 $\angle \mathrm{CB}_{1} \mathrm{~B}=\frac{\pi}{4}$ 即可。
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高 $h=1$ ，底面半径 $r=1$ ．
由 $\widehat{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}}$ 的长为 $\frac{\pi}{3}$ ，可知 $\angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\frac{\pi}{3}$ ．
$S_{\Delta \mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}_{1}}=\frac{1}{2} \mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}_{1} \cdot \mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}_{1} \cdot \sin \angle \mathrm{~A}_{1} \mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，
$\mathrm{V}_{\mathrm{C}-\mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}_{1}}=\frac{1}{3} S_{\Delta \mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}_{1}} \cdot h=\frac{\sqrt{3}}{12}$.
②设过点 $\mathrm{B}_{1}$ 的母线与下底面交于点 B ，则 $\mathrm{BB}_{1} / / \mathrm{AA}_{1}$ ，
所以 $\angle \mathrm{CB}_{1} \mathrm{~B}$ 或其补角为直线 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 与 $\mathrm{AA}_{1}$ 所成的角．
由 $\overparen{\mathrm{AC}}$ 长为 $\frac{2 \pi}{3}$ ，可知 $\angle \mathrm{AOC}=\frac{2 \pi}{3}$ ，
又 $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\frac{\pi}{3}$ ，所以 $\angle \mathrm{COB}=\frac{\pi}{3}$ ，
从而 $\triangle \mathrm{COB}$ 为等边三角形，得 $\mathrm{CB}=1$ 。
因为 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B} \perp$ 平面 AOC ，所以 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B} \perp \mathrm{CB}$ ．学科路网
在 $\Delta \mathrm{CB}_{1} \mathrm{~B}$ 中，因为 $\angle \mathrm{B}_{1} \mathrm{BC}=\frac{\pi}{2}, \mathrm{CB}=1, \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~B}=1$ ，所以 $\angle \mathrm{CB}_{1} \mathrm{~B}=\frac{\pi}{4}$ ，
从而直线 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 与 $\mathrm{AA}_{1}$ 所成的角的大小为 $\frac{\pi}{4}$ ．
考点：1．几何体的体积；2．空间角．