16．（5分）已知球 $O$ 的半径为 4 ，圆 $M$ 与圆 $N$ 为该球的两个小圆，$A B$ 为圆 $M$ 与圆 $N$ 的公共弦，$A B=4$ ，若 $O M=O N=3$ ，则两圆圆心的距离 $M N=$ $\_\_\_\_$ 3。
（5分）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球…——2010 高考数学第 16 题答案解析
2010_旧全国 II 卷 (2010·文)
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【考点】 JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得。
【解答】解法一：$\because \mathrm{ON}=3$ ，球半径为 4 ，
∴ 小圆 N 的半径为 $\sqrt{7}$ ，
∵ 小圆 $N$ 中弦长 $A B=4$ ，作 $N E$ 垂直于 $A B$ ，
$\therefore N E=\sqrt{3}$ ，同理可得 $M E=\sqrt{3}$ ，在直角三角形ONE中，
$\because N E=\sqrt{3}, ~ O N=3$ ，
$\therefore \angle \mathrm{EON}=\frac{\pi}{6}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{MON}=\frac{\pi}{3}$ ，
$\therefore \mathrm{MN}=3$ ．
故填： 3.
解法二：如下图：设 AB 的中点为 C ，则 OC 与 MN 必相交于 MN 中点为 E ，因为 $\mathrm{OM}= \mathrm{ON}=3$ ，
故小圆半径 $N B$ 为 $\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$
$C$ 为 $A B$ 中点，故 $C B=2$ ；所以 $N C=\sqrt{\sqrt{7}^{2}-2^{2}}=\sqrt{3}$ ，
$\because \mathrm{ONC}$ 为直角三角形， NE 为 $\triangle \mathrm{ONC}$ 斜边上的高， $\mathrm{OC}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}$
$\therefore \mathrm{MN}=2 \mathrm{EN}=2 \cdot \mathrm{CN} \cdot \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{CO}}=2 \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2 \sqrt{3}}=3$
故填： 3.
【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
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