2013_退役省自主命题 (2013·文)
17．在平面直角坐标系中，若点 $P(x, y)$ 的坐标 $x, y$ 均为整数，则称点 $P$ 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形。格点多边形的面积记为 $S$，其内部的格点数记为 $N$，边界上的格点数记为 $L$．例如图中 $\triangle A B C$ 是格点三角形，对应的 $S=1$， $N=0, ~ L=4$。
（I）图中格点四边形 $D E F G$ 对应的 $S, N, L$ 分别是 $\_\_\_\_$ $;$
（II）已知格点多边形的面积可表示为 $S=a N+b L+c$，其中 $a, b, c$ 为常数．若某格点多边形对应的 $N=71, L=18$，则 $S=$ $\_\_\_\_$ （用数值作答）。
［答案］（I）$S=3, N=1, L=6$。（II） 79
［解析］①由图知，面积 $S=\frac{1}{2} \times 4+1=3$，内部整点有 1 个，则 $N=1$，边界上有整点 6 个，则 $L=6$．即 $S=3, N=1, L=6$．
第 17 题图
②又在图中可以发现一个面积为 $\frac{1}{2}$ 的三角形，$S=\frac{1}{2}, N=0, L=3$，则根据题意有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}=a \times 0+b \times 3+c \\ 3=a \times 1+b \times 6+c \\ 1=a \times 0+b \times 4+c\end{array}\right.$，则 $a=1, b=\frac{1}{2}, c=-1$, 所以 $S=N+\frac{L}{2}-1$,
所以当 $N=71, L=18$ 时，$S=71+\frac{18}{-1}=79$．
［ 考点定位］本题考查了直角三角形中相似比问题，考查了综合分析问题的能力。
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