设函数 f(x)=(x-3)^ 3 +x-1, a_ n…_2012全国高考数学第12题答案解析 | 高考真题检索

Question

12、设函数 $f(x)=(x-3)^{3}+x-1,\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为 0 的等差数列，
$f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\cdots+f\left(a_{7}\right)=14$ ，则 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}=(\quad)$

Accepted Answer

D

答案：D 解析：由 $f\left(a_{1}ight)+f\left(a_{2}ight)+\ldots+f\left(a_{7}ight)=14$ ， 知 $\left(a_{1}-3ight)^{3}+\left(a_{2}-3ight)^{3}+\ldots+\left(a_{7}-3ight)^{3}+\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}ight)-7=14$ ， 因为 $\left\{a_{n}ight\}$ 是公差不为零的等差数列， 所以 $\left(a_{1}-3ight)^{3}+\left(a_{2}-3ight)^{3}+\ldots+\left(a_{7}-3ight)^{3}+7\left(a_{4}-3ight)=0$ ， 因为 $\left(a_{1}-3ight)^{3}+\left(a_{7}-3ight)^{3}=\left[\left(a_{1}-3ight)+\left(a_{7}-3ight)ight]\left[\left(a_{1}-3ight)^{2}+\left(a_{7}-3ight)^{3}-\left(a_{1}-3ight)\left(a_{7}-3ight)ight]$ ， $$ \begin{aligned} & =2\left(a_{4}-3ight)\left\{\left[\left(a_{1}-3ight)-\frac{1}{2}\left(a_{7}-3ight)ight]^{2}+\frac{3}{4}\left(a_{7}-3ight)^{2}ight\}, \ & =2\left(a_{4}-3ight)\left[\left(a_{1}-\frac{1}{2} a_{7}-\frac{3}{2}ight)^{2}+\frac{3}{4}\left(a_{7}-3ight)^{2}ight], \ & 	ext { 令 }=2\left[\left(a_{1}-\frac{1}{2} a_{7}-\frac{3}{2}ight)^{2}+\frac{3}{4}\left(a_{7}-3ight)^{2}ight]=M_{1}>0, \end{aligned} $$ 同理 $\left(a_{2}-3ight)^{3}+\left(a_{6}-3ight)^{3}=2\left(a_{4}-3ight)\left[\left(a_{2}-\frac{1}{2} a_{6}-\frac{3}{2}ight)^{2}+\frac{3}{4}\left(a_{6}-3ight)^{2}ight]…

设函数 f(x)=(x-3)^ 3 +x-1, a_ n…——2012 高考数学第 12 题答案解析

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