函数 y= (3^ x -3^ -x ) cos x 在区…——2022 高考数学第 5 题答案解析

## 【答案】A

## 【解析】

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解．
【详解】令 $f(x)=\left(3^{x}-3^{-x}\right) \cos x, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，
则 $f(-x)=\left(3^{-x}-3^{x}\right) \cos (-x)=-\left(3^{x}-3^{-x}\right) \cos x=-f(x)$ ，
所以 $f(x)$ 为奇函数，排除 BD；
又当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时， $3^{x}-3^{-x}>0, \cos x>0$ ，所以 $f(x)>0$ ，排除 C．
故选：A．

6 ．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$
A．-1
B．$-\frac{1}{2}$
C．$\frac{1}{2}$
D． 1

【答案】B

## 【解析】

【分析】根据题意可知 $f(1)=-2, ~ f^{\prime}(1)=0$ 即可解得 $a, b$ ，再根据 $f^{\prime}(x)$ 即可解出．
【详解】因为函数 $f(x)$ 定义域为 $(0,+\infty)$ ，所以依题可知，$f(1)=-2, f^{\prime}(1)=0$ ，而

$f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}-\frac{b}{x^{2}}$ ，所以 $b=-2, a-b=0$ ，即 $a=-2, b=-2$ ，所以 $f^{\prime}(x)=-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}$ ，因此函数 $f(x)$ 在
$(0,1)$ 上递增，在 $(1,+\infty)$ 上递减，$x=1$ 时取最大值，满足题意，即有 $f^{\prime}(2)=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ ．
故选：B．