下列函数是偶函数的是——2024 高考数学第 4 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可．
【详解】对 A，设 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-x^{2}}{x^{2}+1}$ ，函数定义域为 R ，但 $f(-1)=\frac{\mathrm{e}^{-1}-1}{2}, f(1)=\frac{\mathrm{e}-1}{2}$ ，则 $f(-1) \neq f(1)$ ，故 A 错误；

对 B ，设 $g(x)=\frac{\cos x+x^{2}}{x^{2}+1}$ ，函数定义域为 R ，
且 $g(-x)=\frac{\cos (-x)+(-x)^{2}}{(-x)^{2}+1}=\frac{\cos x+x^{2}}{x^{2}+1}=g(x)$ ，则 $g(x)$ 为偶函数，故 B 正确；
对 C，设 $h(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-x}{x+1}$ ，函数定义域为 $\{x \mid x \neq-1\}$ ，不关于原点对称，则 $h(x)$ 不是偶函数，故 C 错误；
对 D ，设 $\varphi(x)=\frac{\sin x+4 x}{\mathrm{e}^{|x|}}$ ，函数定义域为 R ，因为 $\varphi(1)=\frac{\sin 1+4}{\mathrm{e}}, \varphi(-1)=\frac{-\sin 1-4}{\mathrm{e}}$ ，则 $\varphi(1) \neq \varphi(-1)$ ，则 $\varphi(x)$ 不是偶函数，故 D 错误．

故选：B．