15. 某些材料的激发态可视为准粒子的集合，激发态寿命可由“时间分辨-能量分析仪”测量，简化原理如图（a）所示，电子源释放初速度可忽略的电子，经电压为 $U _ { \mathfrak { r } }$ 的加速电场加速，穿过处于激发态的样品时，部分电子与准粒子作用后动能发生变化，相互作用时间不计。为筛选出动能变化为特定值的电子，调节匀强磁场的磁感应强度为 $B _ { 0 }$ ，使筛选出的电子沿半径为R的圆弧形中心线运动，从狭缝出射后，沿电场中心线且平行于极板方向进入偏转电场，偏转后打在荧光屏上形成光斑。
已知电子电荷量大小为e，质量为m；偏转电场可视为匀强电场，M、N极板长度为L、间距为 $^ { d }$ ；荧光屏到极板边缘的距离为5L。忽略电子间相互作用及电、磁场边缘效应。
图(a)
图(c)
（1）求筛选出的电子通过样品前后的动能变化量 $\Delta E _ { \mathrm { k } }$ 0
(2)求M、N间电压为 $U _ { \scriptscriptstyle 2 }$ 时，电子到达荧光屏上的偏移距离 $x _ { 0 }$ 。
（3）样品被激发时，电子源开始每隔相同时间发射持续时间极短、电子数目相近的脉冲，同时M、N间电压随时间线性变化，变化率为 $\beta \ ( \beta < 0 )$ ，使先后到达荧光屏上的电子脉冲形成间距为 $\Delta x$ 的光斑，如图（b）所示。每个脉冲经过偏转电场时间极短，在此时间内电子所受电场力可视为恒定。样品被激发后，筛选出的电子数随激发态准粒子数的衰减成比例减少，导致光斑相对强度也相应成比例减弱，相对强度与各个光斑中心位置x的关系如图（c）所示。若样品的激发态寿命 $\boldsymbol { \tau } _ { \ u { x } }$ 定义为准粒子数衰减一半所需的时间，求τ。
(1) $\Delta E _ { \mathrm { k } } = \frac { e ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 2 m } - e U _ { \mathrm { l } }$ >; (2) $x _ { 0 } = \frac { 1 1 m L ^ { 2 } U _ { 2 } } { 2 d R ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } e }$ >; (3) $\tau = - \frac { 8 d R ^ { 2 } e B _ { 0 } ^ { 2 } \Delta x } { 1 1 \beta m L ^ { 2 } }$