若曲线 y=(x+a) e ^ x 有两条过坐标原点的切线…——2022 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$

【解析】

【分析】设出切点横坐标 $x_{0}$ ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 $x_{0}$ 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得 $a$ 的取值范围．

【详解】 $\because y=(x+a) \mathrm{e}^{x}, \quad \therefore y^{\prime}=(x+1+a) \mathrm{e}^{x}$ ，
设切点为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $y_{0}=\left(x_{0}+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}$ ，切线斜率 $k=\left(x_{0}+1+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}$ ，
切线方程为：$y-\left(x_{0}+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}=\left(x_{0}+1+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}\left(x-x_{0}\right)$ ，
∵ 切线过原点，$\therefore-\left(x_{0}+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}=\left(x_{0}+1+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}\left(-x_{0}\right)$ ，
整理得：$x_{0}^{2}+a x_{0}-a=0$ ，
∵ 切线有两条，$\therefore=a^{2}+4 a>0$ ，解得 $a<-4$ 或 $a>0$ ，
$\therefore a$ 的取值范围是 $(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$ ，
故答案为：$(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$