（10分）如图， P 是 O 外一点， PA 是切线， A…——2014 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．
【专题】17：选作题；5Q：立体几何．

【分析】（I）连接 $O E$ ，$O A$ ，证明 $O E \perp B C$ ，可得 $E$ 是 $\widehat{B C}$ 的中点，从而 $B E=E C$ ；
（II）利用切割线定理证明 $\mathrm{PD}=2 \mathrm{~PB}, ~ \mathrm{~PB}=\mathrm{BD}$ ，结合相交弦定理可得 $\mathrm{AD} \bullet \mathrm{DE}=2 \mathrm{~PB}^{2}$

【解答】证明：（ I ）连接 $O E, O A$ ，则 $\angle O A E=\angle O E A, \angle O A P=90^{\circ}$ ，
$\because \mathrm{PC}=2 \mathrm{PA}$ ， D 为 PC 的中点，
$\therefore \mathrm{PA}=\mathrm{PD}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{PAD}=\angle \mathrm{PDA}$ ，
$\because \angle \mathrm{PDA}=\angle \mathrm{CDE}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{OEA}+\angle \mathrm{CDE}=\angle \mathrm{OAE}+\angle \mathrm{PAD}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \mathrm{OE} \perp \mathrm{BC}$ ，
$\therefore \mathrm{E}$ 是 $\widehat{\mathrm{BC}}$ 的中点，
$\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{EC}$ ；
（II）$\because \mathrm{PA}$ 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 $\odot \mathrm{O}$ 相交于点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ ，
$\therefore \mathrm{PA}^{2}=\mathrm{PB} \bullet \mathrm{PC}$ ，
$\because \mathrm{PC}=2 \mathrm{PA}$ ，
$\therefore \mathrm{PA}=2 \mathrm{~PB}$ ，
$\therefore \mathrm{PD}=2 \mathrm{~PB}$ ，
$\therefore \mathrm{PB}=\mathrm{BD}$ ，
$\therefore \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DC}=\mathrm{PB} \cdot 2 \mathrm{~PB}$ ，
$\because \mathrm{AD} \bullet \mathrm{DE}=\mathrm{BD} \bullet \mathrm{DC}$,
$\therefore \mathrm{AD} \bullet \mathrm{DE}=2 \mathrm{~PB}^{2}$ ．

【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．