2013_退役省自主命题 (2013·理)
（14）如图，互不相同的点 $A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n} \ldots$ 和 $B_{1}, B_{2} \ldots B_{n} \ldots$ 分别在角 O 的两条边上，所有 $A_{n} B_{n}$相互平行，且所有梯形 $A_{n} B_{n} B_{n+1} A_{n+1}$ 的面积均相等．设 $O A_{n}=a_{n}$ 若 $a_{1}=1, a_{2}=2$ 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $\_\_\_\_$．
第（1）题图
$a_{n}=\sqrt{3 n-2}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $a_{n}=\sqrt{3 n-2}$
【解析】
$\frac{S_{\triangle O A_{1} B_{1}}}{S_{\triangle O A_{2} B_{2}}}=\left(\frac{O A_{1}}{O A_{2}}\right)^{2}=\frac{1}{4}$
设 $S_{\triangle Q_{4} B_{1}}=S$，则 $S_{A, B_{1}, A_{2} B_{2}}=3 S \quad S_{A, B_{1}, B_{2}}=S_{A_{2} B_{2}, A_{4} B_{4}}=\cdots=S_{A_{n}: B_{k}-A_{k} B_{k}}=S$
$S_{\triangle Q A_{n} B_{n}}=3(n-1) S+S=(3 n-2) S$
由相似可知：
$\frac{S_{\triangle O A_{i} B_{i}}}{S_{\triangle A_{k} B_{k}}}=\frac{S}{(3 n-2) S}=\left(\frac{1}{a_{n}}\right)^{2}$
所以 $a_{n}=\sqrt{3 n-2}$
【考点定位】考查对图形的认识，数列通项公式的求法，三角形相似等知识．