2016_江苏卷 (2016)
10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0$ ）的右焦点，直线 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}}{2}$ 与椭圆交于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点，且 $\angle \mathrm{BFC}=90^{\circ}$ ，则该椭圆的离心率是 $\_\_\_\_$ ．
【解答】
（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0$ ）的右焦点，直线 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}}{2}$ 与椭圆交于 $\mathrm{B}, C$ 两点，且 $\angle \mathrm{BFC}=90^{\circ}$ ，则该椭圆的离心率是 $-\frac{\sqrt{6}}{3}-$
【分析】设右焦点 $\mathrm{F}(\mathrm{c}, 0)$ ，将 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}}{2}$ 代入椭圆方程求得 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 -1 ，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：设右焦点 $\mathrm{F}(\mathrm{c}, ~ 0)$ ，
将 $y=\frac{b}{2}$ 代入椭圆方程可得 $x= \pm a \sqrt{1-\frac{b^{2}}{4 b^{2}}}= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} a$ ，
可得 $B\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} a, \frac{b}{2}\right), C\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a, \frac{b}{2}\right)$ ，
由 $\angle \mathrm{BFC}=90^{\circ}$ ，可得 $\mathrm{k}_{\mathrm{BF}} \bullet \mathrm{k}_{\mathrm{CF}}=-1$ ，
即有 $\frac{\frac{\mathrm{b}}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{a}-\mathrm{c}} \cdot \frac{\frac{\mathrm{b}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{a}-\mathrm{c}}=-1$ ，
化简为 $b^{2}=3 a^{2}-4 c^{2}$ ，
由 $\mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{c}^{2}$ ，即有 $3 \mathrm{c}^{2}=2 \mathrm{a}^{2}$ ，
由 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ ，可得 $\mathrm{e}^{2}=\frac{\mathrm{c}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}=\frac{2}{3}$ ，
可得 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为 -1 ，考查化简整理的运算能力，属于中档题．