已知 A(0,3) 和 P (3, 3 2 ) 为椭圆 C…——2024 高考数学第 16 题答案解析

【答案】①$\frac{1}{2}$
（2）直线 $l$ 的方程为 $3 x-2 y-6=0$ 或 $x-2 y=0$ ．
【解析】
【分析】（1）代入两点得到关于 $a, b$ 的方程，解出即可；
**方法一**：以 $|A P|$ 为底，求出三角形的高，即点 $B$ 到直线 $A P$ 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到 $B$ 点坐标，则得到直线 $l$ 的方程；方法二：同法一得到点 $B$ 到直线 $A P$ 的距离，再设 $B\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点 $B$ 到直线 $A P$ 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线 $A B$ 斜率不存在的情况，再设直线 $y=k x+3$ ，联立椭圆方程，得到点 $B$ 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线 $P B$ 斜率不存在的情况，再设 $P B: y-\frac{3}{2}=k(x-3)$ ，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘 $\frac{1}{2}$ 表达面积即可。

【小问 1 详解】
由题意得 $\left\{\begin{array}{c}b=3 \\ \frac{9}{a^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{b^{2}}=1\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{c}b^{2}=9 \\ a^{2}=12\end{array}\right.$ ，
所以 $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{9}{12}}=\frac{1}{2}$ ．

## 【小问 2 详解】

法一：$k_{A P}=\frac{3-\frac{3}{2}}{0-3}=-\frac{1}{2}$ ，则直线 $A P$ 的方程为 $y=-\frac{1}{2} x+3$ ，即 $x+2 y-6=0$ ，
$|A P|=\sqrt{(0-3)^{2}+\left(3-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ，由①知 $C: \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ，
设点 $B$ 到直线 $A P$ 的距离为 $d$ ，则 $d=\frac{2 \times 9}{\frac{3 \sqrt{5}}{2}}=\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，
则将直线 $A P$ 沿着与 $A P$ 垂直的方向平移 $\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ 单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点 $B$ ，
设该平行线的方程为：$x+2 y+C=0$ ，
则 $\frac{|C+6|}{\sqrt{5}}=\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，解得 $C=6$ 或 $C=-18$ ，
当 $C=6$ 时，联立 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1 \\ x+2 y+6=0\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{c}x=0 \\ y=-3\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-3 \\ y=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$ ，
即 $B(0,-3)$ 或 $\left(-3,-\frac{3}{2}\right)$ ，
当 $B(0,-3)$ 时，此时 $k_{l}=\frac{3}{2}$ ，直线 $l$ 的方程为 $y=\frac{3}{2} x-3$ ，即 $3 x-2 y-6=0$ ，
当 $B\left(-3,-\frac{3}{2}\right)$ 时，此时 $k_{l}=\frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 的方程为 $y=\frac{1}{2} x$ ，即 $x-2 y=0$ ，
当 $C=-18$ 时，联立 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1 \\ x+2 y-18=0\end{array}\right.$ 得 $2 y^{2}-27 y+117=0$ ，
$\Delta=27^{2}-4 \times 2 \times 117=-207<0$ ，此时该直线与椭圆无交点．
综上直线 $l$ 的方程为 $3 x-2 y-6=0$ 或 $x-2 y=0$ ．
法二：同法一得到直线 $A P$ 的方程为 $x+2 y-6=0$ ，
点 $B$ 到直线 $A P$ 的距离 $d=\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，

设 $B\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\left|x_{0}+2 y_{0}-6\right|}{\sqrt{5}}=\frac{12 \sqrt{5}}{5} \\ \frac{x_{0}^{2}}{12}+\frac{y_{0}^{2}}{9}=1\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{c}x_{0}=-3 \\ y_{0}=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x_{0}=0 \\ y_{0}=-3\end{array}\right.$ ，
即 $B(0,-3)$ 或 $\left(-3,-\frac{3}{2}\right)$ ，以下同法一．
法三：同法一得到直线 $A P$ 的方程为 $x+2 y-6=0$ ，
点 $B$ 到直线 $A P$ 的距离 $d=\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，
设 $B(2 \sqrt{3} \cos \theta, 3 \sin \theta)$ ，其中 $\theta \in[0,2 \pi)$ ，则有 $\frac{|2 \sqrt{3} \cos \theta+6 \sin \theta-6|}{\sqrt{5}}=\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，
联立 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ ，解得 $\left\{\begin{array}{c}\cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \theta=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}\cos \theta=0 \\ \sin \theta=-1\end{array}\right.$ ，
即 $B(0,-3)$ 或 $\left(-3,-\frac{3}{2}\right)$ ，以下同法一；
法四：当直线 $A B$ 的斜率不存在时，此时 $B(0,-3)$ ，
$S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2} \times 6 \times 3=9$ ，符合题意，此时 $k_{l}=\frac{3}{2}$ ，直线 $l$ 的方程为 $y=\frac{3}{2} x-3$ ，即 $3 x-2 y-6=0$ ，
当线 $A B$ 的斜率存在时，设直线 $A B$ 的方程为 $y=k x+3$ ，
联立椭圆方程有 $\left\{\begin{array}{c}y=k x+3 \\ \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1\end{array}\right.$ ，则 $\left(4 k^{2}+3\right) x^{2}+24 k x=0$ ，其中 $k \neq k_{A P}$ ，即 $k \neq-\frac{1}{2}$ ，
解得 $x=0$ 或 $x=\frac{-24 k}{4 k^{2}+3}, k \neq 0, k \neq-\frac{1}{2}$ ，
令 $x=\frac{-24 k}{4 k^{2}+3}$ ，则 $y=\frac{-12 k^{2}+9}{4 k^{2}+3}$ ，则 $B\left(\frac{-24 k}{4 k^{2}+3}, \frac{-12 k^{2}+9}{4 k^{2}+3}\right)$
同法一得到直线 $A P$ 的方程为 $x+2 y-6=0$ ，
点 $B$ 到直线 $A P$ 的距离 $d=\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，

则 $\frac{\left|\frac{-24 k}{4 k^{2}+3}+2 \times \frac{-12 k^{2}+9}{4 k^{2}+3}-6\right|}{\sqrt{5}}=\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，解得 $k=\frac{3}{2}$ ，
此时 $B\left(-3,-\frac{3}{2}\right)$ ，则得到此时 $k_{l}=\frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 的方程为 $y=\frac{1}{2} x$ ，即 $x-2 y=0$ ，

综上直线 $l$ 的方程为 $3 x-2 y-6=0$ 或 $x-2 y=0$ ．

法五：当 $l$ 的斜率不存在时，$l: x=3, B\left(3,-\frac{3}{2}\right),|P B|=3, A$ 到 $P B$ 距离 $d=3$ ，
此时 $S_{\triangle A B P}=\frac{1}{2} \times 3 \times 3=\frac{9}{2} \neq 9$ 不满足条件。
当 $l$ 的斜率存在时，设 $P B: y-\frac{3}{2}=k(x-3)$ ，令 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
$\left\{\begin{array}{l}y=k(x-3)+\frac{3}{2} \\ \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1\end{array}\right.$ ，消 $y$ 可得 $\left(4 k^{2}+3\right) x^{2}-\left(24 k^{2}-12 k\right) x+36 k^{2}-36 k-27=0$,
$\Delta=\left(24 k^{2}-12 k\right)^{2}-4\left(4 k^{2}+3\right)\left(36 k^{2}-36 k-27\right)>0$ ，且 $k \neq k_{A P}$ ，即 $k \neq-\frac{1}{2}$ ，
$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\frac{24 k^{2}-12 k}{4 k^{2}+3} \\ x_{1} x_{2}=\frac{36 k^{2}-36 k-27}{4 k^{2}+3}\end{array},|P B|=\sqrt{k^{2}+1} \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{k^{2}+1} \sqrt{3 k^{2}+9 k+\frac{27}{4}}}{4 k^{2}+3}\right.$,
A 到直线 $P B$ 距离 $d=\frac{\left|3 k+\frac{3}{2}\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}, S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{k^{2}+1} \sqrt{3 k^{2}+9 k+\frac{27}{4}}}{4 k^{2}+3} \cdot \frac{\left|3 k+\frac{3}{2}\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}=9$ ，
$\therefore k=\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$ ，均满足题意，$\therefore l: y=\frac{1}{2} x$ 或 $y=\frac{3}{2} x-3$ ，即 $3 x-2 y-6=0$ 或 $x-2 y=0$ ．
法六：当 $l$ 的斜率不存在时，$l: x=3, B\left(3,-\frac{3}{2}\right),|P B|=3, A$ 到 $P B$ 距离 $d=3$ ，
此时 $S_{\triangle A B P}=\frac{1}{2} \times 3 \times 3=\frac{9}{2} \neq 9$ 不满足条件．
当直线 $l$ 斜率存在时，设 $l: y=k(x-3)+\frac{3}{2}$ ，
设 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，令 $x=0$ ，则 $Q\left(0,-3 k+\frac{3}{2}\right)$ ，

联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x-3 k+\frac{3}{2} \\ 3 x^{2}+4 y^{2}=36\end{array}\right.$ 则有 $\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}-8 k\left(3 k-\frac{3}{2}\right) x+36 k^{2}-36 k-27=0$ ，
$\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}-8 k\left(3 k-\frac{3}{2}\right) x+36 k^{2}-36 k-27=0$,
其中 $\Delta=8 k^{2}\left(3 k-\frac{3}{2}\right)^{2}-4\left(3+4 k^{2}\right)\left(36 k^{2}-36 k-27\right)>0$ ，且 $k \neq-\frac{1}{2}$ ，
则 $3 x_{B}=\frac{36 k^{2}-36 k-27}{3+4 k^{2}}, x_{B}=\frac{12 k^{2}-12 k-9}{3+4 k^{2}}$ ，
则 $S=\frac{1}{2}|A Q|\left|x_{P}-x_{B}\right|=\frac{1}{2}\left|3 k+\frac{3}{2}\right|\left|\frac{12 k+18}{3+4 k^{2}}\right|=9$ ，解的 $k=\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{3}{2}$ ，经代入判别式验证均满足题意．
则直线 $l$ 为 $y=\frac{1}{2} x$ 或 $y=\frac{3}{2} x-3$ ，即 $3 x-2 y-6=0$ 或 $x-2 y=0$ ．