已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2…——2020 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（I）$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ；（II） 1 ．

## 【解析】

【分析】
（I）由题意得到关于 $a, b$ 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
（II）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 $M A, N A$ 的方程确定点 $P, Q$ 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 $y_{P}+y_{Q}=0$ ，从而可得两线段长度的比值．

【详解】①设椭圆方程为：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，由题意可得：
$\left\{\begin{array}{c}\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1 \\ a=2 b\end{array}\right.$ ，解得：$\left\{\begin{array}{l}a^{2}=8 \\ b^{2}=2\end{array}\right.$ ，
故随圆方程为：$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ．
②设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，直线 $M N$ 的方程为：$y=k(x+4)$ ，
与椭圆方程 $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 联立可得：$x^{2}+4 k^{2}(x+4)^{2}=8$ ，

即：$\left(4 k^{2}+1\right) x^{2}+32 k^{2} x+\left(64 k^{2}-8\right)=0$ ，
则：$x_{1}+x_{2}=\frac{-32 k^{2}}{4 k^{2}+1}, x_{1} x_{2}=\frac{64 k^{2}-8}{4 k^{2}+1}$ ．

直线 $M A$ 的方程为：$y+1=\frac{y_{1}+1}{x_{1}+2}(x+2)$ ，
令 $x=-4$ 可得：$y_{P}=-2 \times \frac{y_{1}+1}{x_{1}+2}-1=-2 \times \frac{k\left(x_{1}+4\right)+1}{x_{1}+2}-\frac{x_{1}+2}{x_{1}+2}=\frac{-(2 k+1)\left(x_{1}+4\right)}{x_{1}+2}$ ，
同理可得：$y_{Q}=\frac{-(2 k+1)\left(x_{2}+4\right)}{x_{2}+2}$ ．
很明显 $y_{P} y_{Q}<0$ ，且：$\frac{|P B|}{|P Q|}=\left|\frac{y_{P}}{y_{Q}}\right|$ ，注意到：
$y_{P}+y_{Q}=-(2 k+1)\left(\frac{x_{1}+4}{x_{1}+2}+\frac{x_{2}+4}{x_{2}+2}\right)=-(2 k+1) \times \frac{\left(x_{1}+4\right)\left(x_{2}+2\right)+\left(x_{2}+4\right)\left(x_{1}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}$,
而：$\left(x_{1}+4\right)\left(x_{2}+2\right)+\left(x_{2}+4\right)\left(x_{1}+2\right)=2\left[x_{1} x_{2}+3\left(x_{1}+x_{2}\right)+8\right]$
$=2\left[\frac{64 k^{2}-8}{4 k^{2}+1}+3 \times\left(\frac{-32 k^{2}}{4 k^{2}+1}\right)+8\right]$
$=2 \times \frac{\left(64 k^{2}-8\right)+3 \times\left(-32 k^{2}\right)+8\left(4 k^{2}+1\right)}{4 k^{2}+1}=0$ ，
故 $y_{P}+y_{Q}=0, y_{P}=-y_{Q}$ ．
从而 $\frac{|P B|}{|P Q|}=\left|\frac{y_{P}}{y_{Q}}\right|=1$ 。
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
①注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
②强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．