2016_天津卷 (2016·文)
7．（5分）（2016 • 天津）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的值为（）
B
【解答】
（5分）（2016•天津）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的值为（）
A．$-\frac{5}{8}$
B．$\frac{1}{8}$
C．$\frac{1}{4}$
D．$\frac{11}{8}$
【分析】由题意画出图形，把 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} , \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 都用 $\overrightarrow{\mathrm{BA}} , \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 表示，然后代入数量积公式得答案。
【解答】解：如图，
$\because \mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$ 的中点，且 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{DE}}\right) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
$=\left(-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}-\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BA}}\right) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
$=\left(-\frac{5}{4} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\right) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-\frac{5}{4} \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}^{2}=-\frac{5}{4}|\overrightarrow{\mathrm{BA}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{BC}}| \cos 60^{\circ}+\frac{3}{4} \times 1^{2}$
$=-\frac{5}{4} \times 1 \times 1 \times \frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$ ．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 为 $B C$ 中点，$E$ 为 $A D$ 中点，则以下结论：①存在 $\triangle A B C$ ，使得 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C E}=0$ ；②存在三角形 $\triangle A B C$ ，使得 $\overrightarrow{C E} / /(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C A})$ ；它们的成立情况是（ ）
对任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是（ ）
平面向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=m \vec{a}+\vec{b}(m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$（ ）