2024 高考数学第 17 题答案解析

2024_全国甲卷 (2024·理)

2024 ?? 第 17 题 解答题 区分题
2024_全国甲卷 (2024·理)

17.某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验,数据如下:

| | 优级品 | 合格品 | 不合格品 | 总计 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 甲车间 | 26 | 24 | 0 | 50 |
| 乙车间 | 70 | 28 | 2 | 100 |
| 总计 | 96 | 52 | 2 | 150 |

(1)填写如下列联表:

| | 优级品 | 非优级品 |
| :--- | :--- | :--- |
| 甲车间 | | |

| 乙车间 | | |
| :--- | :--- | :--- |

能否有 $95 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有 $99 \%$ 的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$ ,设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率.如果
$\bar{p}>p+1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的 150 件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了 $? ~(\sqrt{150} \approx 12.247)$

附:$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $P\left(K^{2} \geq k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |

参考答案(1) 答案见详解; (2) 答案见详解

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