某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙…——2024 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解

## 【解析】

【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算 $K^{2}$ ，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得 $\bar{p}=0.64$ ，根据题意计算 $p+1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ，结合题意分析判断．
【小问 1 详解】
根据题意可得列联表：

可得 $K^{2}=\frac{150(26 \times 30-24 \times 70)^{2}}{50 \times 100 \times 96 \times 54}=\frac{75}{16}=4.6875$ ，
因为 $3.841<4.6875<6.635$ ，

所以有 $95 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 $99 \%$ 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异．

## 【小问 2 详解】

由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 $\frac{96}{150}=0.64$ ，
用频率估计概率可得 $\bar{p}=0.64$ ，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$ ，
则 $p+1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=0.5+1.65 \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{150}} \approx 0.5+1.65 \times \frac{0.5}{12.247} \approx 0.568$ ，
可知 $\bar{p}>p+1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．