一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选 40 只小白鼠…——2023 高考数学第 19 题答案解析

2023_全国甲卷 (2023·文)

2023 ?? 第 19 题 解答题 区分题
2023_全国甲卷 (2023·文)

19.一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选 40 只小白鼠,随机地将其中 20 只分配到试验组,另外 20 只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).试验结果如下:

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
$\begin{array}{llllllllll}15.2 & 18.8 & 20.2 & 21.3 & 22.5 & 23.2 & 25.8 & 26.5 & 27.5 & 30.1\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}32.6 & 34.3 & 34.8 & 35.6 & 35.6 & 35.8 & 36.2 & 37.3 & 40.5 & 43.2\end{array}$
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

$\begin{array}{llllllllll}7.8 & 9.2 & 11.4 & 12.4 & 13.2 & 15.5 & 16.5 & 18.0 & 18.8 & 19.2\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}19.8 & 20.2 & 21.6 & 22.8 & 23.6 & 23.9 & 25.1 & 28.2 & 32.3 & 36.5\end{array}$
(1)计算试验组的样本平均数;
(2)(i)求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 $m$ ,再分别统计两样本中小于 $m$ 与不小于 $m$ 的数据的个数,完成如下列联表

$$\geq m$
对照组
试验组

(ii)根据(i)中的列联表,能否有 $95 \%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?

附:$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ,

$P\left(K^{2} \geq k\right)$0.1000.0500.010
$k$2.7063.8416.635
参考答案(1) 19.8; (2) (i)$m=23.4$ ;列联表见解析,(ii)能

完整解析 · 逐步详解

【答案】① 19.8
②(i)$m=23.4$ ;列联表见解析,(ii)能

## 【解析】

【分析】①直接根据均值定义求解;
②(i)根据中位数的定义即可求得 $m=23.4$ ,从而求得列联表;
(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验,即可得解.
【小问 1 详解】
试验组样本平均数为:
$\frac{1}{20}(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2$
$+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=\frac{396}{20}=19.8$
【小问 2 详解】
(i)依题意,可知这 40 只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排后第 20 位与第 21 位数据的平均数,

由原数据可得第 11 位数据为 18.8 ,后续依次为
$19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6, \cdots$ ,
故第 20 位为 23.2 ,第 21 位数据为 23.6 ,
所以 $m=\frac{23.2+23.6}{2}=23.4$ ,
故列联表为:

$$\geq m$合计
对照组61420
试验组14620
合计202040

(ii)由(i)可得,$K^{2}=\frac{40 \times(6 \times 6-14 \times 14)^{2}}{20 \times 20 \times 20 \times 20}=6.400>3.841$ ,
所以能有 $95 \%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.

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