2010_老新课标卷 (2010·文)
（19）（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如下：
| 性别 <br> 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
|---|---|---|
| 需要 | 40 | 30 |
| 不需要 | 160 | 270 |
（I）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（II）能否有 $99 \%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（III）根据（II）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
附：
| $P\left(K^{2} \geqslant k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
|---|---|---|---|
| $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
$$ K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} $$
【解答】
解：
（I）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为 $\frac{70}{500}=14 \%$ 。
（II）$k^{2}=\frac{500 \times(40 \times 270-30 \times 160)^{2}}{200 \times 300 \times 70 \times 430} \approx 9.967$
由于 $9.967>6.635$ ，所以有 $99 \%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
（III）由（II）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 ，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。