列联表与独立性检验　·　历年高考数学真题与解析

17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：

（1）填写如下列联表：

能否有 $95 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 $99 \%$ 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$ ，设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率．如果
$\bar{p}>p+1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了 $? ~(\sqrt{150} \approx 12.247)$

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
$\begin{array}{llllllllll}15.2 & 18.8 & 20.2 & 21.3 & 22.5 & 23.2 & 25.8 & 26.5 & 27.5 & 30.1\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}32.6 & 34.3 & 34.8 & 35.6 & 35.6 & 35.8 & 36.2 & 37.3 & 40.5 & 43.2\end{array}$
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

$\begin{array}{llllllllll}7.8 & 9.2 & 11.4 & 12.4 & 13.2 & 15.5 & 16.5 & 18.0 & 18.8 & 19.2\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}19.8 & 20.2 & 21.6 & 22.8 & 23.6 & 23.9 & 25.1 & 28.2 & 32.3 & 36.5\end{array}$
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（i）求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 $m$ ，再分别统计两样本中小于 $m$ 与不小于 $m$ 的数据的个数，完成如下列联表

（ii）根据（i）中的列联表，能否有 $95 \%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

17．甲、乙两城之间的长途客车均由 $A$ 和 $B$ 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联表：

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

18．某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次 ，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 $1,2,3,4$ 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2 ，则称这天＂空气质量好＂；若某天的空气质量等级为 3 或 4 ，则称这天＂空气质量不好＂。根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表，判断是否有 $95 \%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

18．某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次 ，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 $1,2,3,4$ 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2 ，则称这天＂空气质量好＂；若某天的空气质量等级为 3 或 4 ，则称这天＂空气质量不好＂。根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表，判断是否有 $95 \%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2．5和 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度（单位：$\mu \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3}$ ），得下表：

（1）估计事件＂该市一天空气中 PM2．5 浓度不超过 75 ，且 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度不超过 150 ＂的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：

（3）根据②中的列联表，判断是否有 $99 \%$ 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度有关？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,

19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2．5和 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度（单位：$\mu \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3}$ ），得下表：

（1）估计事件＂该市一天空气中 PM2．5 浓度不超过 75 ，且 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度不超过 150 ＂的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：

（3）根据②中的列联表，判断是否有 $99 \%$ 的把握认为该市一天空气中PM 2.5 浓度与 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度有关？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

17．某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 $95 \%$ 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ．

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式。为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表：

（3）根据②中的列联表，能否有 $99 \%$ 的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

旧养殖法

新养殖法

（1）记A表示事件＂旧养殖法的箱产量低于 50 kg ＂，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 $99 \%$ 的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较。
附：

$\mathrm{K}^{2}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{ad}-\mathrm{bc})^{2}}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{c}+\mathrm{d})(\mathrm{a}+\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{d})}$.

18．（本小题满分 12 分）
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（I）根据表中数据，问是否有 $95 \%$ 的把握认为＂南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异＂； （II）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率．

附：$\chi^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)^{2}}{n_{1+} n_{2+} n_{+1} n_{+2}}$ ，

4．（5分）（2011•湖南）通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由 $k^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 算得，
$k^{2}=\frac{110 \times(40 \times 30-20 \times 20)^{2}}{60 \times 50 \times 60 \times 50} \approx 7.8$.

参照附表，得到的正确结论是
A 在犯错误的概
－率不超过 $0.1 \%$
的前提下，认
为＂爱好该项运
动与性别有关＂
B 在犯错误的概
－率不超过 $0.1 \%$
的前提下，认
为＂爱好该项运
动与性别无关＂
C 有 $99 \%$ 以上的把
－握认为＂爱好该
项运动与性别
有关＂
D 有 $99 \%$ 以上的把
－握认为＂爱好该
项运动与性别
无关＂

5．通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下粯列联表：

由 $K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 算得，$K^{2}=\frac{110 \times(40 \times 30-20 \times 20)^{2}}{60 \times 50 \times 60 \times 50} \approx 7.8$
附表：

参照附表，得到的正确结论是

（19）（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如下：

（I）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（II）能否有 $99 \%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（III）根据（II）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：

$ K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} $