（本小题满分 14 分）设数列 a_ n 的前 n 和为…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（14分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}=2 n a_{n+1}-3 n^{2}-4 n, n \in N^{*}$ ，且 $S_{3}=15$ 。
（1）求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

【解答】
解：$S_{2}=4 a_{3}-20, S_{3}=S_{2}+a_{3}=5 a_{3}-20$ ，又 $S_{3}=15$ ，
$\therefore a_{3}=7, S_{2}=4 a_{3}-20=8$ ，又 $S_{2}=S_{1}+a_{2}=\left(2 a_{2}-7\right)+a_{2}=3 a_{2}-7$ ，
$\therefore a_{2}=5, ~ a_{1}=S_{1}=2 a_{2}-7=3$ ，
综上知 $a_{1}=3, a_{2}=5, a_{3}=7$ ；
②由（1）猜想 $a_{n}=2 n+1$ ，下面用数学归纳法证明．
（1）当 $n=1$ 时，结论显然成立；
（2）假设当 $n=k(k \geq 1)$ 时，$a_{k}=2 k+1$ ，
则 $S_{k}=3+5+7+(2 k+1)=\frac{3+(2 k+1)}{2} \times k=k(k+2)$ ，又 $S_{k}=2 k a_{k+1}-3 k^{2}-4 k$ ，
$\therefore k(k+2)=2 k a_{k+1}-3 k^{2}-4 k$ ，解得 $2 a_{k+1}=4 k+6$ ，
$\therefore a_{k+1}=2(k+1)+1$ ，即当 $n=k+1$ 时，结论成立；
由①②知，$\forall n \in N^{*}, a_{n}=2 n+1$ ．